Номер 256 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 256.
Докажите, что если z является среднем гармоническим положительных чисел a и b, причем a ≠ b, то верно равенство
1/z − a + 1/z − b = 1/a + 1/b
💡 Подсказка (без ответа)
Используй определение среднего гармонического: z = 2ab/(a + b). Затем найди z - a и z - b, приведя их к общему знаменателю. После этого вычисли 1/(z - a) + 1/(z - b) и упрости полученное выражение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
- Сначала вспомним, что такое среднее гармоническое. Если z — среднее гармоническое положительных чисел a и b, то по определению:
z = 2ab/(a + b)
Теперь нам нужно доказать равенство: 1/(z - a) + 1/(z - b) = 1/a + 1/b
Вычислим левую часть. Сначала найдём z - a: z - a = 2ab/(a + b) - a = (2ab - a(a + b))/(a + b) = (2ab - a² - ab)/(a + b) = (ab - a²)/(a + b) = a(b - a)/(a + b)
Аналогично найдём z - b: z - b = 2ab/(a + b) - b = (2ab - b(a + b))/(a + b) = (2ab - ab - b²)/(a + b) = (ab - b²)/(a + b) = b(a - b)/(a + b)
Теперь вычислим 1/(z - a): 1/(z - a) = 1/(a(b - a)/(a + b)) = (a + b)/(a(b - a))
И 1/(z - b): 1/(z - b) = 1/(b(a - b)/(a + b)) = (a + b)/(b(a - b))
Заметим, что (a - b) = -(b - a), поэтому: 1/(z - b) = (a + b)/(b(a - b)) = -(a + b)/(b(b - a))
Сложим левую часть: 1/(z - a) + 1/(z - b) = (a + b)/(a(b - a)) - (a + b)/(b(b - a))
Вынесем общий множитель (a + b)/(b - a): = (a + b)/(b - a) · (1/a - 1/b) = (a + b)/(b - a) · (b - a)/(ab) = (a + b)/(ab)
Раскроем правую часть: 1/a + 1/b = (b + a)/(ab) = (a + b)/(ab)
Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.