Номер 253 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 253.
При каких значениях х имеет смысл выражение:
а) $$
\frac{\frac{1}{x-2}+\frac{x}{x+2}}{\frac{3 x}{x^2-4}}
$$
б) $$
\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}
$$
💡 Подсказка (без ответа)
Для обеих частей нужно найти все значения, при которых знаменатели дробей обращаются в ноль. В части а) проверь знаменатели в числителе, в главном знаменателе и убедись, что на ноль не делим. В части б) разбирай дробь слоями — от внутренней к внешней.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Найдём, при каких значениях х имеет смысл выражение
Выражение имеет смысл, когда:
- Определены все дроби в числителе и знаменателе
- Знаменатель главной дроби не равен нулю
Проверим знаменатели:
В числителе:
- первая дробь: x - 2 ≠ 0, значит x ≠ 2
- вторая дробь: x + 2 ≠ 0, значит x ≠ -2
В знаменателе главной дроби:
- 3x/(x² - 4) должна быть определена: x² - 4 ≠ 0, то есть (x - 2)(x + 2) ≠ 0
- Это значит x ≠ 2 и x ≠ -2
- Сама эта дробь не должна быть нулевой (чтобы делить на неё): 3x ≠ 0, значит x ≠ 0
Вывод: x ≠ 2, x ≠ -2, x ≠ 0
б) Найдём, при каких значениях х имеет смысл выражение
Разбираем «изнутри наружу»:
Самая внутренняя дробь: 1/x Условие: x ≠ 0
Следующий знаменатель: 1 - 1/x Преобразуем: 1 - 1/x = (x - 1)/x Условие: (x - 1)/x ≠ 0, значит x ≠ 1 (и уже знаем x ≠ 0)
Следующая дробь: 1/(1 - 1/x) = 1/((x - 1)/x) = x/(x - 1) Условие: x ≠ 1 (уже учли)
Знаменатель всего выражения: 1 - 1/(1 - 1/x) = 1 - x/(x - 1) Преобразуем: 1 - x/(x - 1) = (x - 1 - x)/(x - 1) = -1/(x - 1) Условие: -1/(x - 1) ≠ 0 Это верно при всех x ≠ 1
Вывод: x ≠ 0 и x ≠ 1