Номер 221 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 221.
Докажите, что если в дроби x² − 2y²/3y² + 5xy переменные х и у заменить соответственно на kx и ky, где k ≠ 0, то получиться дробь, тождественно равная первоначальной.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь kx вместо x и ky вместо y в числитель и знаменатель отдельно. Вынеси k² за скобки в обеих частях дроби и сократи.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно показать, что если в дроби заменить x на kx и y на ky, получится та же дробь.
Шаг 1. Напишем исходную дробь: (x² - 2y²)/(3y² + 5xy)
Шаг 2. Заменим x на kx и y на ky в числителе: (kx)² - 2(ky)² = k²x² - 2k²y² = k²(x² - 2y²)
Шаг 3. Заменим x на kx и y на ky в знаменателе: 3(ky)² + 5(kx)(ky) = 3k²y² + 5k²xy = k²(3y² + 5xy)
Шаг 4. Подставим полученные выражения: [k²(x² - 2y²)]/[k²(3y² + 5xy)]
Шаг 5. Сократим на k² (он не равен нулю, так как k ≠ 0): (x² - 2y²)/(3y² + 5xy)
Шаг 6. Получилась исходная дробь! Это доказывает, что замена переменных на kx и ky дает тождественно равную дробь.
Вывод: При замене x → kx и y → ky дробь не изменяется, потому что k² выносится общим множителем в числитель и знаменатель и сокращается.