Номер 204 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 204.
Выясните, при каких целых а дробь a² − 4a + 1/a − 2 принимает целые значения, и найдите эти значения.
💡 Подсказка (без ответа)
Выполни деление числителя на знаменатель «уголком» (разделение многочленов). Когда получишь выражение вида (целая часть) + (остаток)/(делитель), найди, при каких a остаток нацело делится на (a − 2).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно найти, при каких целых значениях a дробь (a² − 4a + 1)/(a − 2) принимает целые значения.
Шаг 1. Выполним деление многочлена на многочлен.
Разделим числитель a² − 4a + 1 на знаменатель a − 2.
Сначала a² ÷ a = a. Умножим: a(a − 2) = a² − 2a. Вычтем: (a² − 4a + 1) − (a² − 2a) = −2a + 1.
Теперь −2a ÷ a = −2. Умножим: −2(a − 2) = −2a + 4. Вычтем: (−2a + 1) − (−2a + 4) = −3.
Шаг 2. Запишем результат деления.
(a² − 4a + 1)/(a − 2) = a − 2 − 3/(a − 2)
Шаг 3. Проанализируем условие целостности.
Чтобы дробь была целой, нужно чтобы весь результат был целым числом. Выражение a − 2 уже целое (при целом a).
Значит, нужно чтобы −3/(a − 2) было целым числом.
Шаг 4. Найдём делители числа −3.
Делители: ±1, ±3
Поэтому a − 2 должно быть одним из этих делителей:
- a − 2 = 1 ⟹ a = 3
- a − 2 = −1 ⟹ a = 1
- a − 2 = 3 ⟹ a = 5
- a − 2 = −3 ⟹ a = −1
Шаг 5. Найдём соответствующие значения дроби.
При a = 3: (9 − 12 + 1)/(3 − 2) = −2/1 = −2
При a = 1: (1 − 4 + 1)/(1 − 2) = −2/(−1) = 2
При a = 5: (25 − 20 + 1)/(5 − 2) = 6/3 = 2
При a = −1: (1 + 4 + 1)/(−1 − 2) = 6/(−3) = −2
Шаг 6. Проверка.
Все вычисления верны. Дробь принимает целые значения −2 и 2.