Номер 203 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 203.
Представьте дробь 4x + 3/x² − 1 в виде суммы двух дробей со знаменателями х − 1 и х + 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи знаменатель x² − 1 на множители (x − 1) и (x + 1). Затем обозначь неизвестные коэффициенты A и B и приведи сумму дробей к общему знаменателю, сравнивая числители.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно представить дробь (4x + 3)/(x² − 1) как сумму двух дробей с знаменателями (x − 1) и (x + 1).
Шаг 1. Заметим, что x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Это разложение на множители.
Шаг 2. Пусть искомая сумма имеет вид: (4x + 3)/(x² − 1) = A/(x − 1) + B/(x + 1)
Шаг 3. Приведём правую часть к общему знаменателю (x − 1)(x + 1): A/(x − 1) + B/(x + 1) = [A(x + 1) + B(x − 1)] / [(x − 1)(x + 1)]
Шаг 4. Приравняем числители: 4x + 3 = A(x + 1) + B(x − 1)
Шаг 5. Раскроем скобки: 4x + 3 = Ax + A + Bx − B 4x + 3 = (A + B)x + (A − B)
Шаг 6. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x: • при x: A + B = 4 • при x⁰ (свободный член): A − B = 3
Шаг 7. Решим систему уравнений: Сложим оба уравнения: 2A = 7, откуда A = 3,5 Вычтем из первого второе: 2B = 1, откуда B = 0,5
Шаг 8. Запишем ответ: (4x + 3)/(x² − 1) = 3,5/(x − 1) + 0,5/(x + 1)
Проверка: 3,5(x + 1)/(x² − 1) + 0,5(x − 1)/(x² − 1) = [3,5x + 3,5 + 0,5x − 0,5]/(x² − 1) = (4x + 3)/(x² − 1) ✓