Номер 201 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 201.
При каких значениях a и b равенство является тождеством?
6x/(x − 1)(x − 2) = a/x − 1 + b/x − 2
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи правую часть к общему знаменателю (x − 1)(x − 2). Раскрой скобки в числителе и приравняй числители обеих частей. Используй то, что при тождестве коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно найти значения a и b, при которых дробь слева равна сумме дробей справа при любых допустимых значениях x.
Шаг 1. Запишем исходное равенство: 6x / ((x − 1)(x − 2)) = a/(x − 1) + b/(x − 2)
Шаг 2. Приведём правую часть к общему знаменателю (x − 1)(x − 2): a/(x − 1) + b/(x − 2) = (a(x − 2) + b(x − 1)) / ((x − 1)(x − 2))
Шаг 3. Раскроем скобки в числителе правой части: a(x − 2) + b(x − 1) = ax − 2a + bx − b = (a + b)x − (2a + b)
Шаг 4. Получаем равенство: 6x / ((x − 1)(x − 2)) = ((a + b)x − (2a + b)) / ((x − 1)(x − 2))
Шаг 5. Так как знаменатели равны, числители тоже должны быть равны: 6x = (a + b)x − (2a + b)
Шаг 6. Раскроем скобки и приравняем коэффициенты: 6x + 0 = (a + b)x − 2a − b
При x: 6 = a + b При единице (свободный член): 0 = −2a − b
Шаг 7. Решаем систему уравнений:
- a + b = 6
- −2a − b = 0, то есть 2a + b = 0
Вычтем первое уравнение из второго: 2a + b − (a + b) = 0 − 6 a = −6
Шаг 8. Подставим a = −6 в первое уравнение: −6 + b = 6 b = 12
Шаг 9. Проверка: −6/(x − 1) + 12/(x − 2) = (−6(x − 2) + 12(x − 1)) / ((x − 1)(x − 2)) = (−6x + 12 + 12x − 12) / ((x − 1)(x − 2)) = 6x / ((x − 1)(x − 2)) ✓