Номер 168 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 168.
Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
а) x − a/x − b, если x = ab/a + b
б) $$
\frac{\frac{a}{b}-x}{\frac{b}{a}+x},
$$ если x = a − b/a + b
💡 Подсказка (без ответа)
Подставьте значение x в выражение, приведите к общему знаменателю в числителе и знаменателе дроби, упростите. Не забудьте, что деление дробей — это умножение на перевёрнутую дробь.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) x − a/x − b, если x = ab/(a + b)
Подставляем x = ab/(a + b) в выражение x − a/x − b.
Сначала вычислим x − a: x − a = ab/(a + b) − a = ab/(a + b) − a(a + b)/(a + b) = (ab − a² − ab)/(a + b) = −a²/(a + b)
Теперь вычислим x − b: x − b = ab/(a + b) − b = ab/(a + b) − b(a + b)/(a + b) = (ab − ab − b²)/(a + b) = −b²/(a + b)
Получаем дробь: (x − a)/(x − b) = [−a²/(a + b)] / [−b²/(a + b)] = −a²/(a + b) · (a + b)/(−b²) = a²/b²
Ответ: a²/b²
б) (a/b − x)/(b/a + x), если x = (a − b)/(a + b)
Подставляем x = (a − b)/(a + b).
Вычислим числитель a/b − x: a/b − x = a/b − (a − b)/(a + b) = a(a + b)/(b(a + b)) − b(a − b)/(b(a + b)) = (a(a + b) − b(a − b))/(b(a + b)) = (a² + ab − ab + b²)/(b(a + b)) = (a² + b²)/(b(a + b))
Вычислим знаменатель b/a + x: b/a + x = b/a + (a − b)/(a + b) = b(a + b)/(a(a + b)) + a(a − b)/(a(a + b)) = (b(a + b) + a(a − b))/(a(a + b)) = (ab + b² + a² − ab)/(a(a + b)) = (a² + b²)/(a(a + b))
Получаем: [(a² + b²)/(b(a + b))] / [(a² + b²)/(a(a + b))] = (a² + b²)/(b(a + b)) · (a(a + b))/(a² + b²) = a/b
Ответ: a/b