Номер 1306 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

Обозначь члены пропорции через две переменные, используя условия о разностях. Затем применив основное свойство пропорции (произведение крайних равно произведению средних), вырази одну переменную через другую. После подставь в условие о сумме квадратов и решай квадратное уравнение.

Шаг 1. Обозначим члены пропорции.

Обозначим второй член как x₂ = a. Тогда:

• x₁ = a + 6 (первый на 6 больше второго)
• x₄ = b (четвёртый член)
• x₃ = b + 5 (третий на 5 больше четвёртого)

Шаг 2. Используем свойство пропорции.

Для пропорции x₁ : x₂ = x₃ : x₄ верно: x₁ · x₄ = x₂ · x₃

Подставляем: (a + 6) · b = a · (b + 5)

Раскрываем скобки: ab + 6b = ab + 5a

Упрощаем: 6b = 5a

Следовательно: a = 6b/5

Шаг 3. Используем условие о сумме квадратов.

Сумма квадратов всех членов равна 793: (a + 6)² + a² + (b + 5)² + b² = 793

Раскрываем скобки: a² + 12a + 36 + a² + b² + 10b + 25 + b² = 793

Упрощаем: 2a² + 2b² + 12a + 10b + 61 = 793

2a² + 2b² + 12a + 10b = 732

Делим на 2: a² + b² + 6a + 5b = 366

Шаг 4. Подставляем a = 6b/5.

(6b/5)² + b² + 6 · (6b/5) + 5b = 366

36b²/25 + b² + 36b/5 + 5b = 366

Приводим к общему знаменателю 25: 36b²/25 + 25b²/25 + 180b/25 + 125b/25 = 366

(36b² + 25b² + 180b + 125b)/25 = 366

(61b² + 305b)/25 = 366

61b² + 305b = 9150

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение.

61b² + 305b - 9150 = 0

Делим на 61: b² + 5b - 150 = 0

По формуле корней квадратного уравнения: D = 25 + 600 = 625 √D = 25

b = (-5 + 25)/2 = 10 или b = (-5 - 25)/2 = -15

Шаг 6. Находим все члены пропорции.

Вариант 1: b = 10

• a = 6 · 10/5 = 12
• x₁ = 12 + 6 = 18
• x₂ = 12
• x₃ = 10 + 5 = 15
• x₄ = 10

Проверка пропорции: 18 : 12 = 15 : 10, то есть 3 : 2 = 3 : 2 ✓

Проверка суммы: 18² + 12² + 15² + 10² = 324 + 144 + 225 + 100 = 793 ✓

Вариант 2: b = -15

• a = 6 · (-15)/5 = -18
• x₁ = -18 + 6 = -12
• x₂ = -18
• x₃ = -15 + 5 = -10
• x₄ = -15

Проверка пропорции: -12 : (-18) = -10 : (-15), то есть 2 : 3 = 2 : 3 ✓

Проверка суммы: (-12)² + (-18)² + (-10)² + (-15)² = 144 + 324 + 100 + 225 = 793 ✓