Номер 1293 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1293.
При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х² + (а − 1)х - 2а = 0 равна 9?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней. Затем воспользуйся формулой х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² − 2х₁х₂ и приравняй результат к 9. Не забудь проверить, что при найденном значении а уравнение имеет корни (проверь дискриминант)!
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решим задачу по шагам.
Шаг 1. Вспомним теорему Виета
Для уравнения х² + (а − 1)х − 2а = 0 обозначим корни как х₁ и х₂.
По теореме Виета:
- х₁ + х₂ = −(а − 1) = 1 − а
- х₁ · х₂ = −2а
Шаг 2. Найдём сумму квадратов корней
Нужно найти х₁² + х₂².
Используем формулу: х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² − 2х₁х₂
Подставим значения: х₁² + х₂² = (1 − а)² − 2(−2а)
х₁² + х₂² = (1 − а)² + 4а
Шаг 3. Раскроем скобки
(1 − а)² + 4а = 1 − 2а + а² + 4а = а² + 2а + 1
Заметим, что а² + 2а + 1 = (а + 1)²
Шаг 4. Составим уравнение
По условию сумма квадратов корней равна 9:
(а + 1)² = 9
Шаг 5. Решим уравнение
Извлекаем корень из обеих частей: a + 1 = 3 или a + 1 = −3
a = 2 или a = −4
Шаг 6. Проверим, при каких значениях уравнение имеет корни
Для уравнения х² + (а − 1)х − 2а = 0 найдём дискриминант:
D = (а − 1)² − 4 · 1 · (−2а) = (а − 1)² + 8а
D = а² − 2а + 1 + 8а = а² + 6а + 1
При а = 2: D = 4 + 12 + 1 = 17 > 0 ✓ (корни есть)
При а = −4: D = 16 − 24 + 1 = −7 < 0 ✗ (корней нет)
Ответ: а = 2