Номер 1291 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1291.
Найдите наименьшее значение выражения (a − 1)(a − 2)(a − 5)(a − 6) + 9
💡 Подсказка (без ответа)
Переруппируйте множители так, чтобы получить две скобки с общей частью. Введите замену переменной для упрощения. Затем выделите полный квадрат в полученном квадратичном выражении.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим выражение как f(a) = (a − 1)(a − 2)(a − 5)(a − 6) + 9.
Перуппируем множители удобным образом: f(a) = [(a − 1)(a − 6)]·[(a − 2)(a − 5)] + 9
Вычислим первую скобку: (a − 1)(a − 6) = a² − 6a − a + 6 = a² − 7a + 6
Вычислим вторую скобку: (a − 2)(a − 5) = a² − 5a − 2a + 10 = a² − 7a + 10
Теперь обозначим x = a² − 7a (общая часть). Тогда: • (a − 1)(a − 6) = x + 6 • (a − 2)(a − 5) = x + 10
Подставляем: f(a) = (x + 6)(x + 10) + 9
Раскрываем скобки: f(a) = x² + 10x + 6x + 60 + 9 = x² + 16x + 69
Это квадратичная функция относительно x. Найдем её минимум, выделив полный квадрат: f(a) = x² + 16x + 69 = (x + 8)² − 64 + 69 = (x + 8)² + 5
Минимальное значение равно 5, оно достигается при (x + 8)² = 0, то есть при x = −8.
Найдём значение a: a² − 7a = −8 a² − 7a + 8 = 0
По формуле корней квадратного уравнения: a = (7 ± √(49 − 32))/2 = (7 ± √17)/2
Проверка: при x = −8 получаем f(a) = (−8 + 8)² + 5 = 0 + 5 = 5