Номер 1278 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1278.
Найдите корни уравнения
x² − 2x − 2/х + 1/х² − 13 = 0
💡 Подсказка (без ответа)
Заметь, что в уравнении есть выражения x + 1/x и x² + 1/x². Сделай замену переменной: обозначь y = x + 1/x, тогда выразишь x² + 1/x² через y. Это сведёт уравнение к квадратному.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Это уравнение содержит дроби с x. Сначала умножим всё на x² (при условии x ≠ 0), чтобы избавиться от дробей.
Исходное уравнение: x² − 2x − 2/x + 1/x² − 13 = 0
Умножаем обе части на x²: x⁴ − 2x³ − 2x + 1 − 13x² = 0
Переносим всё в левую часть и переупорядочиваем: x⁴ − 2x³ − 13x² − 2x + 1 = 0
Это уравнение 4-й степени. Заметим, что можно сгруппировать члены или поискать рациональные корни. Попробуем переписать исходное уравнение в другом виде.
Вернёмся к исходному виду и разделим всё уравнение на x² (x ≠ 0): x² − 2x − 2/x + 1/x² − 13 = 0
Переgroup: (x² + 1/x²) − 2(x + 1/x) − 13 = 0
Обозначим y = x + 1/x. Тогда: y² = (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
Следовательно: x² + 1/x² = y² − 2
Подставляем: (y² − 2) − 2y − 13 = 0 y² − 2y − 15 = 0
Решаем квадратное уравнение: D = 4 + 60 = 64 y₁ = (2 + 8)/2 = 5 y₂ = (2 − 8)/2 = −3
Теперь для каждого y решаем уравнение x + 1/x = y.
При y = 5: x + 1/x = 5 x² − 5x + 1 = 0 D = 25 − 4 = 21 x₁ = (5 + √21)/2 ≈ 4,79 x₂ = (5 − √21)/2 ≈ 0,21
При y = −3: x + 1/x = −3 x² + 3x + 1 = 0 D = 9 − 4 = 5 x₃ = (−3 + √5)/2 ≈ −0,38 x₄ = (−3 − √5)/2 ≈ −2,62