Номер 1243 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1243.
Докажите, что прямая у = −х + l, где l − некоторое положительное число, и гипербола у = х⁻¹:
а) имеют две общие точки, если l > 2 б) имеют одну общую точку, l = 2 в) не имеют общих точек, если l < 2
💡 Подсказка (без ответа)
Приравняй уравнения гиперболы и прямой: 1/x = −x + l. Умножь на x и получи квадратное уравнение x² − lx + 1 = 0. Исследуй дискриминант D = l² − 4 в зависимости от значения l.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно найти, при каких значениях l прямая y = −x + l и гипербола y = 1/x имеют общие точки.
Шаг 1. Приравняем уравнения прямой и гиперболы: 1/x = −x + l
Шаг 2. Умножим обе части на x (x ≠ 0): 1 = −x² + lx
Шаг 3. Перенесём всё в левую часть: x² − lx + 1 = 0
Получилось квадратное уравнение. Количество общих точек зависит от дискриминанта D.
Шаг 4. Найдём дискриминант: D = l² − 4·1·1 = l² − 4
Шаг 5. Анализируем случаи:
а) Если l > 2: Тогда l² > 4, поэтому D = l² − 4 > 0 Когда D > 0, квадратное уравнение имеет два различных корня, значит прямая и гипербола пересекаются в двух точках. ✓
б) Если l = 2: Тогда D = 2² − 4 = 4 − 4 = 0 Когда D = 0, уравнение имеет один корень (двойной корень): x = l/2 = 2/2 = 1 Прямая и гипербола касаются в одной точке. ✓
в) Если l < 2: Тогда l² < 4, поэтому D = l² − 4 < 0 Когда D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней, значит прямая и гипербола не пересекаются. ✓
Что и требовалось доказать.