Номер 1237 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1237.
Найдите значение выражения
$$ (2-\sqrt{3}) \sqrt{7+4 \sqrt{3}} $$
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри, что стоит под корнем. Попробуй представить выражение 7 + 4√3 как полный квадрат (a + b)². Когда найдёшь, что это (2 + √3)², извлечение корня будет простым.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
- Сначала упростим выражение под корнем: 7 + 4√3.
Попробуем представить 7 + 4√3 как полный квадрат вида (a + b)².
Если (a + b)² = a² + 2ab + b², то нам нужно:
- a² + b² = 7
- 2ab = 4√3, откуда ab = 2√3
- Подходят значения a = 2 и b = √3, так как:
- 2² + (√3)² = 4 + 3 = 7 ✓
- 2 · 2 · √3 = 4√3 ✓
Значит: 7 + 4√3 = (2 + √3)²
Тогда √(7 + 4√3) = √((2 + √3)²) = |2 + √3| = 2 + √3 (так как 2 + √3 > 0)
Подставляем в исходное выражение: (2 - √3) · √(7 + 4√3) = (2 - √3)(2 + √3)
Применяем формулу разности квадратов (a - b)(a + b) = a² - b²: (2 - √3)(2 + √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1
Ответ: 1