Номер 1218 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1218.
Решите уравнение:
2x − 7/x + 1 + 3x + 2/x − 1 = 7
💡 Подсказка (без ответа)
Найдите общий знаменатель дробей и умножьте на него обе части уравнения. После упрощения получится квадратное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решаем уравнение: (2x − 7)/(x + 1) + (3x + 2)/(x − 1) = 7
Шаг 1. Определим ограничения: x ≠ −1 и x ≠ 1 (знаменатели не равны нулю)
Шаг 2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (x + 1)(x − 1): (2x − 7)(x − 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x + 1)(x − 1)
Шаг 3. Раскроем скобки в левой части: (2x − 7)(x − 1) = 2x² − 2x − 7x + 7 = 2x² − 9x + 7 (3x + 2)(x + 1) = 3x² + 3x + 2x + 2 = 3x² + 5x + 2
Получим: 2x² − 9x + 7 + 3x² + 5x + 2 = 7(x² − 1) 5x² − 4x + 9 = 7x² − 7
Шаг 4. Перенесём всё в левую часть: 5x² − 4x + 9 − 7x² + 7 = 0 −2x² − 4x + 16 = 0
Шаг 5. Разделим на −2: x² + 2x − 8 = 0
Шаг 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = 4 + 32 = 36 x₁ = (−2 + 6)/2 = 2 x₂ = (−2 − 6)/2 = −4
Шаг 7. Проверка ограничений: оба корня подходят (не равны −1 и 1)
Шаг 8. Проверим подстановкой в исходное уравнение: При x = 2: (4 − 7)/(2 + 1) + (6 + 2)/(2 − 1) = −3/3 + 8/1 = −1 + 8 = 7 ✓ При x = −4: (−8 − 7)/(−4 + 1) + (−12 + 2)/(−4 − 1) = −15/(−3) + (−10)/(−5) = 5 + 2 = 7 ✓