Номер 1217 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1217.
Известно, что х₁ и х₂ − корни уравнения 8х² − 6х + n = 0 и х₁⁻¹ + х₂⁻¹ = 6. Найдите n.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета, чтобы выразить сумму и произведение корней через коэффициенты. Затем преобразуй сумму обратных корней: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁ · x₂). Подставь известные значения и реши уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно найти параметр n, используя условие про сумму обратных корней.
Шаг 1. Вспомним теорему Виета для уравнения 8x² − 6x + n = 0. Для уравнения ax² + bx + c = 0 верно: x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a
В нашем случае a = 8, b = −6, c = n: x₁ + x₂ = 6/8 = 3/4 x₁ · x₂ = n/8
Шаг 2. Преобразуем выражение x₁⁻¹ + x₂⁻¹.
Помним, что x₁⁻¹ = 1/x₁ и x₂⁻¹ = 1/x₂
x₁⁻¹ + x₂⁻¹ = 1/x₁ + 1/x₂
Приведём к общему знаменателю: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₂ + x₁)/(x₁ · x₂) = (x₁ + x₂)/(x₁ · x₂)
Шаг 3. Подставим найденные значения.
По условию x₁⁻¹ + x₂⁻¹ = 6
(x₁ + x₂)/(x₁ · x₂) = 6
(3/4)/(n/8) = 6
Шаг 4. Решим уравнение.
(3/4) · (8/n) = 6
24/(4n) = 6
6/n = 6
n = 1
Шаг 5. Проверка. При n = 1 уравнение: 8x² − 6x + 1 = 0 x₁ · x₂ = 1/8 x₁ + x₂ = 3/4
1/x₁ + 1/x₂ = (3/4)/(1/8) = (3/4) · 8 = 6 ✓