Номер 1109 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1109.
Выясните, пересекаются ли прямая и гипербола. Если да, то найдите точки пересечения.
а) прямая у = х + 1 и гипербола y = 2/x б) прямая у = −2х − 2 и гипербола y = 1/x
💡 Подсказка (без ответа)
Чтобы найти точки пересечения, приравняй правые части уравнений (y = y). Затем умножь обе части на x, чтобы избавиться от дроби, и реши получившееся квадратное уравнение через дискриминант. Если D < 0, пересечений нет; если D ≥ 0, находишь x и потом y.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Прямая y = x + 1 и гипербола y = 2/x
Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
x + 1 = 2/x
Умножим обе части на x (при x ≠ 0):
x(x + 1) = 2
Раскроем скобки:
x² + x = 2
Перенесём всё влево:
x² + x - 2 = 0
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
D = 1² - 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9
D > 0, значит два корня:
x₁ = (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1
x₂ = (-1 - 3)/2 = -4/2 = -2
Найдём соответствующие значения y:
При x₁ = 1: y₁ = 1 + 1 = 2
При x₂ = -2: y₂ = -2 + 1 = -1
Прямая и гипербола пересекаются в двух точках: (1; 2) и (-2; -1)
б) Прямая y = -2x - 2 и гипербола y = 1/x
Приравняем правые части:
-2x - 2 = 1/x
Умножим обе части на x (при x ≠ 0):
x(-2x - 2) = 1
Раскроем скобки:
-2x² - 2x = 1
Перенесём всё влево:
-2x² - 2x - 1 = 0
Умножим на -1 для удобства:
2x² + 2x + 1 = 0
Найдём дискриминант:
D = 2² - 4·2·1 = 4 - 8 = -4
D < 0, значит корней нет.
Прямая и гипербола не пересекаются