Номер 1083 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1083.
Найдите область определения и множество значений функции, заданной формулой
y = x²/х² + 1
💡 Подсказка (без ответа)
Проверь, при каких х знаменатель равен нулю. Затем переобразуй дробь в вид 1 - 1/(x² + 1), чтобы увидеть, какие значения может принимать у.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Разберёмся с функцией y = x²/(x² + 1)
Шаг 1: Найдём область определения
Область определения — это все значения х, при которых функция имеет смысл.
Функция y = x²/(x² + 1) — это дробь. Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю.
Проверим знаменатель: x² + 1 = 0 Отсюда: x² = -1
Квадрат любого числа всегда ≥ 0, поэтому x² не может быть равен -1.
Значит, знаменатель никогда не равен нулю при любых х.
Область определения: все действительные числа или D(y) = (-∞; +∞)
Шаг 2: Найдём множество значений
Множество значений — это все значения у, которые может принимать функция.
Преобразуем выражение y = x²/(x² + 1)
Заметим, что:
- Числитель x² ≥ 0 (квадрат всегда неотрицателен)
- Знаменатель x² + 1 ≥ 1 (потому что x² ≥ 0)
- Значит, y ≥ 0
Теперь найдём максимальное значение.
Пеепишем: y = x²/(x² + 1) = (x² + 1 - 1)/(x² + 1) = (x² + 1)/(x² + 1) - 1/(x² + 1) = 1 - 1/(x² + 1)
Так как x² ≥ 0, то:
- Когда x = 0: y = 1 - 1/1 = 0 (минимум)
- Когда |x| → ∞: выражение 1/(x² + 1) → 0, поэтому y → 1 (но не достигает 1)
Значит, 0 ≤ y < 1
Множество значений: [0; 1) или E(y) = [0; 1)