Номер 1017 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1017.
Докажите неравенство:
а) a² + b² + 2 ≥ 2(a + b) б) a² + b² + c² + 5 > 2(a + b + c)
💡 Подсказка (без ответа)
Перенеси все слагаемые в левую часть. Затем попробуй выделить полные квадраты (a - 1)², (b - 1)² и т.д., дополняя каждое выражение нужными числами. Квадрат любого выражения всегда ≥ 0.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Доказать: a² + b² + 2 ≥ 2(a + b)
Шаг 1. Перенесём всё в левую часть. a² + b² + 2 - 2(a + b) ≥ 0 a² + b² + 2 - 2a - 2b ≥ 0
Шаг 2. Переставим и сгруппируем удобно. (a² - 2a) + (b² - 2b) + 2 ≥ 0
Шаг 3. Дополним каждую скобку до полного квадрата. Для a²: a² - 2a + 1 = (a - 1)² Для b²: b² - 2b + 1 = (b - 1)²
Шаг 4. Запишем наше выражение с этими квадратами. (a² - 2a + 1) - 1 + (b² - 2b + 1) - 1 + 2 ≥ 0 (a - 1)² + (b - 1)² - 1 - 1 + 2 ≥ 0 (a - 1)² + (b - 1)² ≥ 0 ✓
Это всегда верно, так как сумма квадратов неотрицательна.
б) Доказать: a² + b² + c² + 5 > 2(a + b + c)
Шаг 1. Перенесём в левую часть. a² + b² + c² + 5 - 2a - 2b - 2c > 0
Шаг 2. Сгруппируем. (a² - 2a) + (b² - 2b) + (c² - 2c) + 5 > 0
Шаг 3. Дополним до полных квадратов. Для каждой переменной:
- a² - 2a + 1 = (a - 1)²
- b² - 2b + 1 = (b - 1)²
- c² - 2c + 1 = (c - 1)²
Шаг 4. Запишем с полными квадратами. (a² - 2a + 1) - 1 + (b² - 2b + 1) - 1 + (c² - 2c + 1) - 1 + 5 > 0 (a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² - 3 + 5 > 0 (a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² + 2 > 0 ✓
Это верно, так как сумма квадратов ≥ 0, а добавляем ещё +2, получаем > 0.