Номер 1016 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1016.
Верно ли неравенство:
а) $$\sqrt{7}$$ + 2$$\sqrt{5}$$ < 2 + $$\sqrt{35}$$;
б) 4$$\sqrt{6}$$ + 2 > 2$$\sqrt{3}$$ + 4$$\sqrt{2}$$
💡 Подсказка (без ответа)
Перенеси всё в одну часть, затем вынеси общие множители или переобозначь слагаемые. После этого попробуй разложить на произведение и проанализировать знаки множителей, или приблизительно посчитай численные значения корней (√2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Проверяем: √7 + 2√5 < 2 + √35
Шаг 1. Перенесём всё в левую часть, чтобы проверить знак: √7 + 2√5 - 2 - √35 < 0
Шаг 2. Перегруппируем: (√7 - √35) + (2√5 - 2) < 0 √7(1 - √5) + 2(√5 - 1) < 0
Шаг 3. Вынесем общий множитель (√5 - 1). Заметим, что (1 - √5) = -(√5 - 1): -√7(√5 - 1) + 2(√5 - 1) < 0 (√5 - 1)(2 - √7) < 0
Шаг 4. Анализируем знаки:
- √5 ≈ 2,236, значит √5 - 1 ≈ 1,236 > 0
- √7 ≈ 2,646, значит 2 - √7 ≈ -0,646 < 0
Шаг 5. Произведение (положительное) × (отрицательное) = отрицательное < 0 ✓
Ответ: Неравенство верно.
б) Проверяем: 4√6 + 2 > 2√3 + 4√2
Шаг 1. Перенесём всё в левую часть: 4√6 + 2 - 2√3 - 4√2 > 0 4√6 - 2√3 - 4√2 + 2 > 0
Шаг 2. Перегруппируем: 2√6 · 2 - 2√3 - 2√2 · 2 + 2 > 0 2(2√6 - √3 - 2√2 + 1) > 0
Шаг 3. Нужно проверить: 2√6 - √3 - 2√2 + 1 > 0 Отдельно посчитаем приблизительно:
- √6 ≈ 2,449, значит 2√6 ≈ 4,899
- √3 ≈ 1,732
- √2 ≈ 1,414, значит 2√2 ≈ 2,828
Шаг 4. Подставляем: 4,899 - 1,732 - 2,828 + 1 ≈ 1,34 > 0 ✓
Ответ: Неравенство верно.