Номер 998 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 998.
Сколько существует пар простых чисел (х; у), являющихся решениями уравнения 5х – 6у = 3?
💡 Подсказка (без ответа)
Выразите x через y из уравнения. Найдите условие, при котором x будет целым числом. Проверьте небольшие значения y, которые являются простыми числами.
Решение по шагам
Нужно найти пары простых чисел (x; y), которые удовлетворяют уравнению 5x - 6y = 3.
Шаг 1. Выразим x через y из уравнения: 5x - 6y = 3 5x = 3 + 6y x = (3 + 6y)/5
Шаг 2. Чтобы x было целым числом, числитель (3 + 6y) должен делиться на 5 нацело. Проверим: 3 + 6y ≡ 0 (mod 5) 6y ≡ -3 ≡ 2 (mod 5) y ≡ 2 (mod 5)
Значит, y = 5k + 2, где k — натуральное число (k = 0, 1, 2, ...).
Шаг 3. Подставим y = 5k + 2: x = (3 + 6(5k + 2))/5 = (3 + 30k + 12)/5 = (15 + 30k)/5 = 3 + 6k
Так что x = 3 + 6k и y = 5k + 2.
Шаг 4. Проверим для каких k оба числа x и y будут простыми:
- k = 0: x = 3, y = 2 — оба простые ✓
- k = 1: x = 9 = 3·3, y = 7 — x не простое ✗
- k = 2: x = 15 = 3·5, y = 12 — оба не простые ✗
- k ≥ 1: x = 3 + 6k = 3(1 + 2k) — всегда делится на 3 и больше 3, значит, не простое ✗
Шаг 5. Проверим решение (3; 2): 5·3 - 6·2 = 15 - 12 = 3 ✓