Номер 947 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 947.
Можно ли утверждать, что при любом натуральном значении n значение выражения (5n + 10)2 – (2n + 4)2 делится нацело на 84?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов a² – b² = (a + b)(a – b). После упрощения постарайся вынести общий множитель из каждой скобки. Затем проверь делимость на 84 для конкретного значения n, например n = 1.
Решение по шагам
Нужно упростить выражение (5n + 10)² – (2n + 4)² и проверить, делится ли оно на 84 при любом натуральном n.
Шаг 1. Применим формулу разности квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b)
Здесь a = (5n + 10), b = (2n + 4)
(5n + 10)² – (2n + 4)² = [(5n + 10) + (2n + 4)] · [(5n + 10) – (2n + 4)]
Шаг 2. Упростим первую скобку:
(5n + 10) + (2n + 4) = 5n + 2n + 10 + 4 = 7n + 14
Шаг 3. Упростим вторую скобку:
(5n + 10) – (2n + 4) = 5n – 2n + 10 – 4 = 3n + 6
Шаг 4. Получилось:
(7n + 14)(3n + 6)
Шаг 5. Вынесем общий множитель из каждой скобки:
7n + 14 = 7(n + 2)
3n + 6 = 3(n + 2)
Шаг 6. Подставим:
7(n + 2) · 3(n + 2) = 21(n + 2)²
Шаг 7. Проверим делимость на 84:
84 = 21 · 4
Тогда 21(n + 2)² делится на 84, если (n + 2)² делится на 4.
Шаг 8. Проверим, всегда ли (n + 2)² делится на 4:
При n = 1: (1 + 2)² = 3² = 9. Число 9 не делится на 4.
Проверим: 21 · 9 = 189. Делится ли 189 на 84? 189 : 84 = 2,25 (не целое число)
Вывод: Выражение НЕ делится нацело на 84 при любом натуральном n.