Номер 786 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 786.
Найдите такое наименьшее натуральное значение а, при котором выражение х2 − 4х + 2а принимает положительные значения при любом значении х.
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай: когда парабола y = х² − 4х + 2a лежит полностью выше оси x? Когда у квадратного уравнения нет корней. А когда корней нет? Когда дискриминант отрицательный. Составь неравенство D < 0.
Решение по шагам
Нам нужно найти наименьшее натуральное значение a, при котором выражение х² − 4х + 2a всегда положительно для любого x.
Шаг 1. Разберёмся, что значит «положительно при любом x». Это означает, что парабола y = х² − 4х + 2a не должна касаться оси x и не должна пересекать её. То есть у квадратного уравнения х² − 4х + 2a = 0 не должно быть действительных корней.
Шаг 2. Используем дискриминант. Для того чтобы корней не было, нужно, чтобы дискриминант был отрицательным: D < 0
Шаг 3. Найдём дискриминант. Для уравнения х² − 4х + 2a = 0: D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · 2a = 16 − 8a
Шаг 4. Составим неравенство. Нам нужно: 16 − 8a < 0
Шаг 5. Решаем неравенство. 16 < 8a 16 : 8 < a 2 < a
Это означает: a > 2
Шаг 6. Найдём наименьшее натуральное значение. Так как a должно быть больше 2 и натуральное число (то есть целое положительное), наименьшее подходящее значение — это a = 3.
Шаг 7. Проверка. При a = 3: х² − 4х + 6 D = 16 − 8 · 3 = 16 − 24 = −8 < 0 ✓ Выражение всегда положительно!
При a = 2: х² − 4х + 4 = (х − 2)² Это выражение равно нулю при x = 2, а не всегда положительно. Поэтому a = 2 не подходит.