Номер 752 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 752.
Пусть x1, х2, ..., х25 – некоторый набор натуральных чисел, а набор у1, у2, ..., y25 получен из него в результате перестановки некоторых чисел. Докажите, что значение выражения (x1 − y1) × (x2 − y2) ... (x25 − y25) является четным числом.
💡 Подсказка (без ответа)
Заметьте, что наборы x и y содержат одни и те же числа. Найдите сумму всех разностей (x₁ − y₁) + (x₂ − y₂) + ... + (x₂₅ − y₂₅). Подумайте: если сумма нечетного количества чисел равна нулю, может ли каждое из них быть нечетным?
Решение по шагам
Докажем, что произведение (x₁ − y₁) × (x₂ − y₂) × ... × (x₂₅ − y₂₅) всегда четное.
Шаг 1. Рассмотрим сумму всех множителей: (x₁ − y₁) + (x₂ − y₂) + ... + (x₂₅ − y₂₅) = (x₁ + x₂ + ... + x₂₅) − (y₁ + y₂ + ... + y₂₅)
Шаг 2. Заметим, что набор y₁, y₂, ..., y₂₅ получен из набора x₁, x₂, ..., x₂₅ в результате перестановки. Это значит, что это один и тот же набор чисел, только в другом порядке.
Шаг 3. Следовательно: x₁ + x₂ + ... + x₂₅ = y₁ + y₂ + ... + y₂₅
Шаг 4. Поэтому сумма всех разностей равна нулю: (x₁ − y₁) + (x₂ − y₂) + ... + (x₂₅ − y₂₅) = 0
Шаг 5. У нас есть 25 множителей (нечетное количество), и их сумма равна нулю. Это означает, что среди этих 25 чисел не все могут быть нечетными (так как сумма нечетного количества нечетных чисел — нечетное число, а не ноль).
Шаг 6. Следовательно, хотя бы один из множителей (x₁ − y₁), (x₂ − y₂), ..., (x₂₅ − y₂₅) должен быть четным числом.
Шаг 7. Если в произведении есть хотя бы один четный множитель, то все произведение четное (свойство произведения: если один множитель четный, то произведение четное).
Вывод: Произведение (x₁ − y₁) × (x₂ − y₂) × ... × (x₂₅ − y₂₅) является четным числом.