Номер 741 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 741.
Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения n4 + n2 + 1 является составным числом.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй представить n⁴ + n² + 1 как разность квадратов. Для этого добавь и вычти n², чтобы получить полный квадрат (n² + 1)². Затем примени формулу a² − b² = (a − b)(a + b).
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение n⁴ + n² + 1 всегда раскладывается на множители (не равные 1 и самому числу), если n — натуральное число и n ≠ 1.
Шаг 1. Используем формулу сокращённого умножения Попробуем разложить n⁴ + n² + 1 на множители. Это выражение похоже на неполный квадрат суммы.
Шаг 2. Добавим и вычтем n² Рассмотрим: n⁴ + n² + 1 = n⁴ + 2n² + 1 − n² = (n²)² + 2·n²·1 + 1² − n²
Шаг 3. Применим формулу квадрата суммы (n²)² + 2·n²·1 + 1² = (n² + 1)²
Получаем: n⁴ + n² + 1 = (n² + 1)² − n² = (n² + 1)² − (n)²
Шаг 4. Применим формулу разности квадратов a² − b² = (a − b)(a + b)
Где a = n² + 1 и b = n: (n² + 1)² − n² = (n² + 1 − n)(n² + 1 + n) = (n² − n + 1)(n² + n + 1)
Шаг 5. Проверим, что оба множителя больше 1
Для n ≥ 2:
- Первый множитель: n² − n + 1 = n(n − 1) + 1 ≥ 2(1) + 1 = 3 > 1
- Второй множитель: n² + n + 1 = n(n + 1) + 1 ≥ 2(3) + 1 = 7 > 1
Вывод: n⁴ + n² + 1 = (n² − n + 1)(n² + n + 1), где оба множителя больше 1 при натуральном n ≥ 2. Значит, число составное.