Номер 715 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 715.
Разложите на множители:
1) a7 + ab6; 2) x8 − y8; 3) c6 − 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Вынеси общий множитель (в первом примере). Используй формулы сокращённого умножения: разность квадратов (a² − b² = (a − b)(a + b)), сумму и разность кубов. Помни, что высокие степени можно разложить несколько раз.
Решение по шагам
Разложим каждое выражение на множители пошагово.
1) a⁷ + ab⁶
Сначала выносим общий множитель a: a⁷ + ab⁶ = a(a⁶ + b⁶)
Теперь разложим a⁶ + b⁶. Это сумма кубов (куб от a² и куб от b²): a⁶ + b⁶ = (a²)³ + (b²)³
Применяем формулу суммы кубов: x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²) (a²)³ + (b²)³ = (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)
Ответ: a(a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)
2) x⁸ − y⁸
Это разность степеней. Сначала применяем разность квадратов: x⁸ − y⁸ = (x⁴)² − (y⁴)² = (x⁴ − y⁴)(x⁴ + y⁴)
Разложим x⁴ − y⁴ ещё раз по разности квадратов: x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²)
И x² − y² = (x − y)(x + y)
Итак: x⁸ − y⁸ = (x − y)(x + y)(x² + y²)(x⁴ + y⁴)
3) c⁶ − 1
Это разность кубов (куб от c² и куб от 1): c⁶ − 1 = (c²)³ − 1³
Применяем формулу разности кубов: x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) (c²)³ − 1³ = (c² − 1)(c⁴ + c² + 1)
Разложим c² − 1 по разности квадратов: c² − 1 = (c − 1)(c + 1)
Ответ: (c − 1)(c + 1)(c⁴ + c² + 1)