Номер 685 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 685.
Упростите выражение:
1) (x + 1)(х2 – х + 1) + (2 – х)(4 + 2х + х2); 2) (х – 4)(х2 + 4х + 16) – х(х – 5)(х + 5); 3) а(а – 3)2 – (а + 3)(а2 – 3а + 9); 4) (а – 1)(а + 1)(а2 – а + 1)(а2 + а + 1)(а6 + 1)(а12 + 1).
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулы сокращённого умножения: сумма кубов a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) и разность кубов a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²). В последнем примере группируй множители так, чтобы получались разности квадратов.
Решение по шагам
Задание № 685: Упростите выражение
1) (x + 1)(х² – х + 1) + (2 – х)(4 + 2х + х²)
Это сумма произведений вида (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³
Первое произведение: (x + 1)(х² – х + 1) = х³ + 1³ = х³ + 1
Второе произведение: (2 – х)(4 + 2х + х²) = 2³ – х³ = 8 – х³
Складываем: х³ + 1 + 8 – х³ = 9
2) (х – 4)(х² + 4х + 16) – х(х – 5)(х + 5)
Первое произведение: (х – 4)(х² + 4х + 16) = х³ – 4³ = х³ – 64
Второе произведение: (х – 5)(х + 5) = х² – 25 Тогда: х(х² – 25) = х³ – 25х
Вычитаем: х³ – 64 – (х³ – 25х) = х³ – 64 – х³ + 25х = 25х – 64
3) а(а – 3)² – (а + 3)(а² – 3а + 9)
Раскроем (а – 3)²: (а – 3)² = а² – 6а + 9 Тогда: а(а² – 6а + 9) = а³ – 6а² + 9а
Второе произведение: (а + 3)(а² – 3а + 9) = а³ + 3³ = а³ + 27
Вычитаем: а³ – 6а² + 9а – (а³ + 27) = а³ – 6а² + 9а – а³ – 27 = –6а² + 9а – 27
Можно вынести общий множитель: –3(2а² – 3а + 9)
4) (а – 1)(а + 1)(а² – а + 1)(а² + а + 1)(а⁶ + 1)(а¹² + 1)
Группируем попарно:
(а – 1)(а² + а + 1) = а³ – 1
(а + 1)(а² – а + 1) = а³ + 1
Тогда первые четыре множителя: (а³ – 1)(а³ + 1) = а⁶ – 1
Теперь: (а⁶ – 1)(а⁶ + 1) = а¹² – 1
Наконец: (а¹² – 1)(а¹² + 1) = а²⁴ – 1
Ответ: а²⁴ – 1