Номер 684 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 684.
Представьте в виде произведения выражение:
1) (b – 5)3 + 125; 2) (4 – 3x)3 – 8x3; 3) (a – b)3 + (a + b)3; 4) (c + 3)3 – (c – 3)3.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни формулы суммы и разности кубов. Сначала распознай, какие выражения являются кубами (например, 125 = 5³, 8x³ = (2x)³). Затем подставь в нужную формулу.
Решение по шагам
Используем формулы суммы и разности кубов: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²) и A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²).
1) (b – 5)³ + 125
Заметим, что 125 = 5³. Применяем формулу суммы кубов, где A = (b – 5), B = 5: (b – 5)³ + 5³ = ((b – 5) + 5)((b – 5)² – (b – 5)·5 + 5²) = b(b² – 10b + 25 – 5b + 25 + 25) = b(b² – 15b + 75)
2) (4 – 3x)³ – 8x³
Заметим, что 8x³ = (2x)³. Применяем формулу разности кубов, где A = (4 – 3x), B = 2x: (4 – 3x)³ – (2x)³ = ((4 – 3x) – 2x)((4 – 3x)² + (4 – 3x)·2x + (2x)²) = (4 – 5x)(16 – 24x + 9x² + 8x – 6x² + 4x²) = (4 – 5x)(16 – 16x + 7x²)
3) (a – b)³ + (a + b)³
Применяем формулу суммы кубов, где A = (a – b), B = (a + b): ((a – b) + (a + b))((a – b)² – (a – b)(a + b) + (a + b)²) = 2a((a² – 2ab + b²) – (a² – b²) + (a² + 2ab + b²)) = 2a(a² – 2ab + b² – a² + b² + a² + 2ab + b²) = 2a(a² + 3b²)
4) (c + 3)³ – (c – 3)³
Применяем формулу разности кубов, где A = (c + 3), B = (c – 3): ((c + 3) – (c – 3))((c + 3)² + (c + 3)(c – 3) + (c – 3)²) = 6((c² + 6c + 9) + (c² – 9) + (c² – 6c + 9)) = 6(c² + 6c + 9 + c² – 9 + c² – 6c + 9) = 6(3c² + 9) = 18(c² + 3)