Номер 663 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 663.
Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь стороны как а и b. Из условия периметра (а + b = 10) выражай одну сторону через другую. Площадь S = a(10 - a) — это функция, которая имеет максимум. Используй знание о вершине параболы или проверь несколько значений.
Решение по шагам
Обозначим стороны прямоугольника как а и b (в сантиметрах).
Шаг 1. Составим уравнение для периметра. Периметр прямоугольника: 2а + 2b = 20 Упростим: а + b = 10 Значит: b = 10 - a
Шаг 2. Выразим площадь через одну переменную. Площадь прямоугольника: S = а × b Подставим b = 10 - a: S = а × (10 - a) = 10a - a²
Шаг 3. Найдём максимум площади. Раскроем скобки: S = 10a - a² Это квадратичная функция (парабола ветвями вниз). Максимум находится в вершине параболы.
Для функции вида S = -a² + 10a максимум при a = -10/(2 × (-1)) = 10/2 = 5
Шаг 4. Найдём вторую сторону. b = 10 - a = 10 - 5 = 5
Шаг 5. Проверим результат. Периметр: 2 × 5 + 2 × 5 = 10 + 10 = 20 см ✓ Площадь: 5 × 5 = 25 см²
Вывод: Когда прямоугольник имеет наибольшую площадь при фиксированном периметре, он становится квадратом.