Номер 653 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 653.
Докажите, что выражение (a – 3b)(a – 3b – 4) +4 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.
💡 Подсказка (без ответа)
Введи новую переменную t = a – 3b, чтобы упростить выражение. Затем раскрой скобки и посмотри, не является ли результат полным квадратом двучлена.
Решение по шагам
Обозначим часть выражения через новую переменную, чтобы упростить.
Пусть t = a – 3b. Тогда наше выражение становится: t(t – 4) + 4
Раскроем скобки: t² – 4t + 4
Это квадратный трёхчлен. Заметим, что он выглядит как полный квадрат.
Проверим: (t – 2)² = t² – 4t + 4
Да! Наше выражение можно переписать как: (t – 2)² = (a – 3b – 2)²
Аны знаем, что квадрат любого числа всегда больше или равен нулю: (a – 3b – 2)² ≥ 0 при любых значениях a и b.
Причём равенство нулю достигается только когда a – 3b – 2 = 0, то есть когда a – 3b = 2.
Это и доказывает, что выражение принимает неотрицательные значения при всех допустимых значениях переменных.