Номер 594 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 594.
Докажите тождество:
1) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab; 2) (a – b)2 + (ab + 1)2 = (a2 + 1)(b2 + 1).
💡 Подсказка (без ответа)
Для доказательства тождества раскрой скобки (возведи в квадрат) либо в левой, либо в правой части, затем упрости и покажи, что обе части равны. В первом примере используй формулу (a – b)² = a² – 2ab + b². Во втором — раскрой оба квадрата и приведи подобные слагаемые.
Решение по шагам
Пункт 1) a² + b² = (a – b)² + 2ab
Раскроем правую часть и покажем, что она равна левой.
Раскрываем скобку (a – b)²: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Подставляем в правую часть: (a – b)² + 2ab = a² – 2ab + b² + 2ab
Упрощаем (–2ab и +2ab взаимно уничтожаются): = a² + b²
Получилось a² + b², что совпадает с левой частью.
Тождество доказано! ✓
Пункт 2) (a – b)² + (ab + 1)² = (a² + 1)(b² + 1)
Раскроем левую часть и правую часть, затем сравним.
Левая часть:
Раскрываем (a – b)²: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Раскрываем (ab + 1)²: (ab + 1)² = a²b² + 2ab + 1
Складываем: (a – b)² + (ab + 1)² = a² – 2ab + b² + a²b² + 2ab + 1
Упрощаем (–2ab и +2ab взаимно уничтожаются): = a² + b² + a²b² + 1
Правая часть:
Раскрываем скобки (a² + 1)(b² + 1): = a² · b² + a² · 1 + 1 · b² + 1 · 1 = a²b² + a² + b² + 1
Сравнение:
Левая часть: a² + b² + a²b² + 1 Правая часть: a²b² + a² + b² + 1
Это одно и то же! (Слагаемые переставлены.)
Тождество доказано! ✓