Номер 469 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 469.
Найдите все двузначные числа, равные произведению их цифр, увеличенных на 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь двузначное число как 10a + b, где a и b — его цифры. Составь уравнение по условию задачи: 10a + b = (a + 1)(b + 1). Выражение b через a и найди, при каких значениях a цифра b получится целым числом от 0 до 9.
Решение по шагам
Обозначим двузначное число как 10a + b, где a — цифра десятков (от 1 до 9), b — цифра единиц (от 0 до 9).
По условию задачи число равно произведению его цифр, увеличенных на 1:
10a + b = (a + 1)(b + 1)
Раскроем скобки:
10a + b = ab + a + b + 1
Упростим, перенеся b в левую и правую части:
10a = ab + a + 1
10a - a = ab + 1
9a = ab + 1
Выразим b:
9a - 1 = ab
b = (9a - 1) / a
Разделим числитель на знаменатель:
b = (9a - 1) / a = 9 - 1/a
Чтобы b было целым числом, нужно, чтобы 1/a было целым числом. Это возможно только при a = 1.
При a = 1:
b = 9 - 1/1 = 9 - 1 = 8
Двузначное число: 10 · 1 + 8 = 18
Проверка: (1 + 1)(8 + 1) = 2 · 9 = 18 ✓
При a = 2:
b = 9 - 1/2 = 8,5 (не целое число)
При a ≥ 2 значение 1/a будет меньше 1, поэтому b не будет целым числом, а при увеличении a дробь 1/a становится только меньше.