Номер 401 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 401.
Преобразуйте в многочлен выражение:
1) (a + 1)(a − 2)(a − 3); 2) (3a − 2)(a + 3)(a − 7); 3) (a2 − 2a + 1)(a2 + 3a − 2); 4) (a + 1)(a4 − a3 + a2 − a + 1).
💡 Подсказка (без ответа)
Перемножайте скобки постепенно: сначала две скобки, потом результат умножьте на третью. Раскрывайте скобки, распределяя каждый член первого многочлена на все члены второго. Не забудьте привести подобные слагаемые в конце.
Решение по шагам
Пункт 1) (a + 1)(a − 2)(a − 3)
Сначала перемножим последние две скобки: (a − 2)(a − 3) = a² − 3a − 2a + 6 = a² − 5a + 6
Теперь умножим результат на первую скобку: (a + 1)(a² − 5a + 6) = a·a² + a·(−5a) + a·6 + 1·a² + 1·(−5a) + 1·6 = a³ − 5a² + 6a + a² − 5a + 6 = a³ − 4a² + a + 6
Пункт 2) (3a − 2)(a + 3)(a − 7)
Перемножим последние две скобки: (a + 3)(a − 7) = a² − 7a + 3a − 21 = a² − 4a − 21
Теперь умножим на первую скобку: (3a − 2)(a² − 4a − 21) = 3a·a² + 3a·(−4a) + 3a·(−21) − 2·a² − 2·(−4a) − 2·(−21) = 3a³ − 12a² − 63a − 2a² + 8a + 42 = 3a³ − 14a² − 55a + 42
Пункт 3) (a² − 2a + 1)(a² + 3a − 2)
Умножим первый многочлен на каждый член второго:
a²·(a² + 3a − 2) = a⁴ + 3a³ − 2a²
(−2a)·(a² + 3a − 2) = −2a³ − 6a² + 4a
1·(a² + 3a − 2) = a² + 3a − 2
Складываем все: a⁴ + 3a³ − 2a² − 2a³ − 6a² + 4a + a² + 3a − 2 = a⁴ + a³ − 7a² + 7a − 2
Пункт 4) (a + 1)(a⁴ − a³ + a² − a + 1)
Умножим: a·(a⁴ − a³ + a² − a + 1) = a⁵ − a⁴ + a³ − a² + a
1·(a⁴ − a³ + a² − a + 1) = a⁴ − a³ + a² − a + 1
Складываем: a⁵ − a⁴ + a³ − a² + a + a⁴ − a³ + a² − a + 1 = a⁵ + 1
Замечание: это произведение дало красивый результат благодаря специальной структуре множителей.