Номер 344 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
Редакция 2024
№ 344.
Трамвайные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Номер называют "счастливым", если сумма трех его первых цифр равна сумме трех последних. Докажите, что количество "счастливых" билетов четно.
Редакция 2018
№ 344.
Докажите, что:
1) сумма чисел abс, bcа и cab кратна 111; 2) разность числа abc и суммы его цифр делится нацело на 9.
💡 Подсказка (без ответа)
В первом пункте запиши каждое число как сумму разрядных слагаемых (например, abc = 100a + 10b + c), затем сложи все три выражения и вынеси общий множитель. Во втором пункте найди разность между самим числом и суммой его цифр, упростив полученное выражение.
Решение по шагам
1) Докажите, что сумма чисел abc, bca и cab кратна 111
Запишем каждое трёхзначное число через его цифры:
- abc = 100a + 10b + c
- bca = 100b + 10c + a
- cab = 100c + 10a + b
Найдём сумму этих чисел: abc + bca + cab = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)
Приведём подобные слагаемые:
- Слагаемые с a: 100a + a + 10a = 111a
- Слагаемые с b: 10b + 100b + b = 111b
- Слагаемые с c: c + 10c + 100c = 111c
Получаем: abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c)
Так как сумма равна 111(a + b + c), то она кратна 111. Доказано.
2) Докажите, что разность числа abc и суммы его цифр делится нацело на 9
Запишем число abc через его цифры: abc = 100a + 10b + c
Сумма цифр этого числа: a + b + c
Найдём разность: abc − (a + b + c) = (100a + 10b + c) − (a + b + c)
Раскроем скобки и приведём подобные: = 100a + 10b + c − a − b − c = 100a − a + 10b − b + c − c = 99a + 9b = 9(11a + b)
Так как разность равна 9(11a + b), то она делится нацело на 9. Доказано.