Номер 1170 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1170.
При каких значениях a, b, c и d выполняется равенство ab · cd = ad · cb?
💡 Подсказка (без ответа)
Запиши каждое двузначное число через разложение по разрядам (например, ab = 10a + b), раскрой скобки и упрости полученное уравнение. Перенеси все в одну сторону и вынеси общие множители.
Решение по шагам
Разберемся, что нужно доказать.
Дано равенство: ab · cd = ad · cb
Здесь ab, cd, ad, cb — двузначные числа (где первая цифра — десятки, вторая — единицы).
Запишем через разложение по разрядам:
- ab = 10a + b
- cd = 10c + d
- ad = 10a + d
- cb = 10c + b
Подставим в равенство: (10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b)
Раскроем скобки слева: 100ac + 10ad + 10bc + bd
Раскроем скобки справа: 100ac + 10ab + 10cd + bd
Приравняем: 100ac + 10ad + 10bc + bd = 100ac + 10ab + 10cd + bd
Сокращаем 100ac и bd с обеих сторон: 10ad + 10bc = 10ab + 10cd
Делим на 10: ad + bc = ab + cd
Переносим: ad - ab = cd - bc
Вынесем общие множители: a(d - b) = c(d - b)
Отсюда получаем два случая:
Случай 1: d - b = 0, то есть d = b
Случай 2: d - b ≠ 0, тогда a = c
Так как a, b, c, d — цифры двузначных чисел, то a ≠ 0 и c ≠ 0. Остальные могут быть любыми цифрами от 0 до 9.