Номер 1076 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1076.
Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении х:
1) –х2 – 4х + 6; 2) –х2 + 16х – 64; 3) –х2 + 8х – 18?
💡 Подсказка (без ответа)
Заметь: все выражения — это перевёрнутые параболы (коэффициент при х² отрицательный). Найди максимальное значение каждого. Если максимум отрицательный — значит, всё выражение всегда отрицательно. Используй формулу вершины: х = –b/(2a), или выдели полный квадрат.
Решение по шагам
Нужно найти, какое выражение всегда отрицательно при любом х. Для этого проверим каждое.
Способ: найдём максимальное значение каждого выражения
Все три выражения имеют вид –х² + ..., то есть перевёрнутая парабола. Максимум достигается в вершине.
1) –х² – 4х + 6
Вершина параболы: х = –b/(2a) = –(–4)/(2·(–1)) = 4/(–2) = –2
Подставляем х = –2: –(–2)² – 4·(–2) + 6 = –4 + 8 + 6 = 10
Максимальное значение = 10 (положительное), поэтому это выражение не всегда отрицательно.
2) –х² + 16х – 64
Это можно переписать: –х² + 16х – 64 = –(х² – 16х + 64) = –(х – 8)²
Поскольку (х – 8)² ≥ 0 при любом х, то –(х – 8)² ≤ 0.
Максимальное значение = 0 (при х = 8), поэтому выражение не всегда отрицательно (оно может быть нулевым).
3) –х² + 8х – 18
Вершина параболы: х = –b/(2a) = –8/(2·(–1)) = –8/(–2) = 4
Подставляем х = 4: –4² + 8·4 – 18 = –16 + 32 – 18 = –2
Максимальное значение = –2 (отрицательное!)
Поскольку это максимум и он отрицательный, то при любом х выражение отрицательно.