Номер 1046 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1046.
Найдите все целые числа х и у, при которых выполняется равенство х + у = ху.
💡 Подсказка (без ответа)
Перенеси все в левую часть и сгруппируй члены так, чтобы вынести х за скобки. Потом выражай х через у и подумай, при каких значениях у результат будет целым числом.
Решение по шагам
Нужно найти целые числа х и у такие, что х + у = ху.
Преобразуем это уравнение: х + у = ху х + у - ху = 0 х - ху + у = 0 х(1 - у) + у = 0 х(1 - у) = -у
Если у ≠ 1, то можем разделить на (1 - у): х = -у/(1 - у) х = у/(у - 1)
Преобразуем дальше: х = (у - 1 + 1)/(у - 1) х = (у - 1)/(у - 1) + 1/(у - 1) х = 1 + 1/(у - 1)
Чтобы х было целым числом, нужно чтобы 1/(у - 1) было целым числом. Это возможно только если (у - 1) = ±1
Случай 1: у - 1 = 1 у = 2 х = 1 + 1/1 = 1 + 1 = 2 Проверка: 2 + 2 = 4 и 2 × 2 = 4 ✓
Случай 2: у - 1 = -1 у = 0 х = 1 + 1/(-1) = 1 - 1 = 0 Проверка: 0 + 0 = 0 и 0 × 0 = 0 ✓
Случай 3: у = 1 Подставим в исходное уравнение: х + 1 = х × 1 х + 1 = х 1 = 0 — противоречие, нет решений.
Так как уравнение симметрично относительно х и у (если поменять их местами, уравнение не изменится), то:
- если (х, у) = (2, 2) — решение, то это уже учтено
- если (х, у) = (0, 0) — решение, то это уже учтено