Номер 1001 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1001.
Докажите, что значение выражения 236 + 4100 – 232 – 498 кратно числу:
1) 15; 2) 240.
💡 Подсказка (без ответа)
Перепиши степени через единую основу (4 = 2²), вынеси общий множитель 2³² за скобки, затем покажи, что в скобках остаётся множитель 15 и достаточная степень двойки.
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение 236 + 4100 – 232 – 498 делится нацело на 15 и на 240.
Сначала упростим выражение, сгруппировав похожие слагаемые: 236 + 4100 – 232 – 498 = (236 – 232) + (4100 – 498)
Вычислим каждую скобку: 236 – 232 = 4 4100 – 498 = 3602
Получаем: 4 + 3602 = 3606
1) Докажем делимость на 15:
Число 15 = 3 × 5, поэтому число должно делиться и на 3, и на 5.
Проверим делимость на 5: 3606 оканчивается на 6, значит не делится на 5.
Постойте, пересчитаем исходное выражение правильно. Вероятно, здесь степени: 2³⁶ + 4¹⁰⁰ – 2³² – 4⁹⁸
Переделаем с учётом степеней:
2³⁶ + 4¹⁰⁰ – 2³² – 4⁹⁸ = 2³⁶ + (2²)¹⁰⁰ – 2³² – (2²)⁹⁸ = 2³⁶ + 2²⁰⁰ – 2³² – 2¹⁹⁶ = 2³²(2⁴ + 2¹⁶⁸ – 1 – 2¹⁶⁴) = 2³²(16 + 2¹⁶⁸ – 1 – 2¹⁶⁴) = 2³²(15 + 2¹⁶⁴(2⁴ – 1)) = 2³²(15 + 2¹⁶⁴ × 15) = 2³² × 15(1 + 2¹⁶⁴)
Видно, что выражение содержит множитель 15, поэтому делится на 15. ✓
2) Докажем делимость на 240:
240 = 16 × 15 = 2⁴ × 15
Из предыдущего: 2³² × 15(1 + 2¹⁶⁴)
Так как 2³² содержит 2⁴ как множитель (32 ≥ 4), выражение делится на 2⁴ × 15 = 240. ✓