Номер 996 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев

Используй формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Разложи числитель и знаменатель каждой дроби, потом сокращай общие множители.

Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

а) (38² - 17²)/(72² - 16²)

Числитель: 38² - 17² = (38 - 17)(38 + 17) = 21 · 55 = 1155

Знаменатель: 72² - 16² = (72 - 16)(72 + 16) = 56 · 88 = 4928

Делим: 1155/4928 = 1155/4928

Найдём общий делитель. 1155 = 21 · 55, а 4928 = 56 · 88 1155 = 3 · 5 · 7 · 11 4928 = 8 · 616 = 8 · 8 · 77 = 64 · 77

Проще разложить иначе: 21 · 55 / (56 · 88) = (21 · 55)/(56 · 88)

21 = 3 · 7, 55 = 5 · 11, 56 = 8 · 7, 88 = 8 · 11

= (3 · 7 · 5 · 11)/(8 · 7 · 8 · 11) = (3 · 5)/(8 · 8) = 15/64

б) (39,5² - 3,5²)/(57,5² - 14,5²)

Числитель: 39,5² - 3,5² = (39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5) = 36 · 43 = 1548

Знаменатель: 57,5² - 14,5² = (57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5) = 43 · 72 = 3096

Делим: 1548/3096 = (36 · 43)/(43 · 72) = 36/72 = 1/2 = 0,5

в) (17,5² - 9,5²)/(131,5² - 3,5²)

Числитель: 17,5² - 9,5² = (17,5 - 9,5)(17,5 + 9,5) = 8 · 27 = 216

Знаменатель: 131,5² - 3,5² = (131,5 - 3,5)(131,5 + 3,5) = 128 · 135 = 17280

Делим: 216/17280 = (8 · 27)/(128 · 135) = (8 · 27)/(128 · 135)

8 = 8, 27 = 27, 128 = 8 · 16, 135 = 27 · 5

= (8 · 27)/(8 · 16 · 27 · 5) = 1/(16 · 5) = 1/80 = 0,0125

Раскройте скобки в левой части в два этапа: сначала умножьте (a² + b²) на (ab + cd), потом умножьте ab на (a² + b² − c² − d²) и вычтите. После приведения подобных членов раскройте скобки в правой части и сравните результаты.

Докажем тождество (a² + b²)(ab + cd) − ab(a² + b² − c² − d²) = (ac + bd)(ad + bc).

Левая часть: (a² + b²)(ab + cd) − ab(a² + b² − c² − d²)

Шаг 1: Раскроем первую скобку. (a² + b²)(ab + cd) = a²·ab + a²·cd + b²·ab + b²·cd = a³b + a²cd + ab³ + b²cd

Шаг 2: Раскроем вторую скобку со знаком минус. −ab(a² + b² − c² − d²) = −ab·a² − ab·b² + ab·c² + ab·d² = −a³b − ab³ + abc² + abd²

Шаг 3: Сложим результаты первого и второго шагов. (a³b + a²cd + ab³ + b²cd) + (−a³b − ab³ + abc² + abd²) = a²cd + b²cd + abc² + abd²

Шаг 4: Вынесем общие множители. a²cd + b²cd + abc² + abd² = cd(a² + b²) + ab(c² + d²)

Правая часть: (ac + bd)(ad + bc)

Шаг 5: Раскроем скобки на правой части. (ac + bd)(ad + bc) = ac·ad + ac·bc + bd·ad + bd·bc = a²cd + abc² + abd² + b²cd

Шаг 6: Переставим слагаемые. a²cd + abc² + abd² + b²cd = a²cd + b²cd + abc² + abd²

Шаг 7: Сравним результаты. Левая часть: cd(a² + b²) + ab(c² + d²) = a²cd + b²cd + abc² + abd² Правая часть: a²cd + b²cd + abc² + abd²

Они равны! Тождество доказано.