Номер 882 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 882.
Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:
а) (5a − 0,2)(0,2 + 5a);
б) (12 − 7y)(7y + 12);
в) (13a − 0,3)(0,3 + 13a);
г) (10 − 9m)(9m + 10).
💡 Подсказка (без ответа)
Заметь, что в каждом выражении скобки имеют вид (a − b)(b + a). Переставь слагаемые во второй скобке и применяй формулу разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b². После раскрытия получится выражение вида число ± (квадрат выражения с переменной). Квадрат всегда неотрицателен, поэтому можно найти наибольшее или наименьшее значение.
Решение по шагам
Вспомним, что (a − b)(b + a) = a² − b². Это формула разности квадратов. Применим её к каждому выражению.
а) (5a − 0,2)(0,2 + 5a)
Переставим множители во втором скобки: (5a − 0,2)(5a + 0,2)
Применим формулу (a − b)(a + b) = a² − b²: (5a)² − (0,2)² = 25a² − 0,04
Так как 25a² ≥ 0 при любом a, то: 25a² − 0,04 ≥ −0,04
Наименьшее значение: −0,04 (достигается при a = 0)
б) (12 − 7y)(7y + 12)
Переставим: (12 − 7y)(12 + 7y) = 12² − (7y)² = 144 − 49y²
Так как 49y² ≥ 0, то: 144 − 49y² ≤ 144
Наибольшее значение: 144 (достигается при y = 0)
в) (13a − 0,3)(0,3 + 13a)
Переставим: (13a − 0,3)(13a + 0,3) = (13a)² − (0,3)² = 169a² − 0,09
Так как 169a² ≥ 0: 169a² − 0,09 ≥ −0,09
Наименьшее значение: −0,09 (достигается при a = 0)
г) (10 − 9m)(9m + 10)
Переставим: (10 − 9m)(10 + 9m) = 10² − (9m)² = 100 − 81m²
Так как 81m² ≥ 0: 100 − 81m² ≤ 100
Наибольшее значение: 100 (достигается при m = 0)
Редакция 2019
№ 882.
Со станций М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость поездов.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь скорость одного поезда как x км/ч, тогда скорость другого (x + 5) км/ч. Найди, сколько км оба поезда вместе прошли за 2 часа, используя, что всего между станциями 380 км и осталось 30 км.
Решение по шагам
Обозначим скорость поезда, отправившегося со станции М, как x км/ч.
Тогда скорость поезда со станции N равна (x + 5) км/ч.
Шаг 1: Найдём, сколько км оба поезда прошли за 2 часа. Поезд из М прошёл: 2x км Поезд из N прошёл: 2(x + 5) км Вместе за 2 часа они прошли: 2x + 2(x + 5) = 2x + 2x + 10 = 4x + 10 км
Шаг 2: Составим уравнение. Исходное расстояние между станциями: 380 км Оставалось пройти: 30 км Значит, поездам прошли: 380 - 30 = 350 км
Получаем уравнение: 4x + 10 = 350
Шаг 3: Решаем уравнение. 4x = 350 - 10 4x = 340 x = 85
Шаг 4: Находим скорости обоих поездов. Скорость поезда из М: x = 85 км/ч Скорость поезда из N: x + 5 = 85 + 5 = 90 км/ч
Шаг 5: Проверка. За 2 часа поезд из М прошёл: 85 · 2 = 170 км За 2 часа поезд из N прошёл: 90 · 2 = 180 км Вместе: 170 + 180 = 350 км Осталось: 380 - 350 = 30 км ✓