Номер 769 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 769.
Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:
а) 3(x2 − x + 1) − 0,5x(4x − 6) является положительным числом;
б) y(2 + y − y3) − 2/3(6 + 3y + 1,5y2) является отрицательным числом.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте все скобки в каждом выражении, затем приведите подобные члены. После упрощения должно остаться выражение, которое всегда имеет постоянный знак (либо содержит сумму неотрицательных членов с положительной константой, либо сумму неположительных членов с отрицательной константой).
Решение по шагам
Задание 769
а) Докажите, что 3(x² − x + 1) − 0,5x(4x − 6) > 0
Шаг 1. Раскроем скобки в первом слагаемом: 3(x² − x + 1) = 3x² − 3x + 3
Шаг 2. Раскроем скобки во втором слагаемом: −0,5x(4x − 6) = −2x² + 3x
Шаг 3. Подставим в исходное выражение: 3x² − 3x + 3 − 2x² + 3x
Шаг 4. Приведём подобные члены: (3x² − 2x²) + (−3x + 3x) + 3 = x² + 3
Шаг 5. Анализируем результат: Выражение имеет вид x² + 3
• x² ≥ 0 при любом значении x (квадрат любого числа неотрицателен) • 3 > 0 • Поэтому x² + 3 ≥ 0 + 3 = 3 > 0
Вывод: выражение всегда положительно ✓
б) Докажите, что y(2 + y − y³) − 2/3(6 + 3y + 1,5y²) < 0
Шаг 1. Раскроем скобки в первом слагаемом: y(2 + y − y³) = 2y + y² − y⁴
Шаг 2. Раскроем скобки во втором слагаемом: −2/3(6 + 3y + 1,5y²) = −4 − 2y − y²
Шаг 3. Подставим в исходное выражение: 2y + y² − y⁴ − 4 − 2y − y²
Шаг 4. Приведём подобные члены: (2y − 2y) + (y² − y²) − y⁴ − 4 = −y⁴ − 4
Шаг 5. Анализируем результат: Выражение имеет вид −y⁴ − 4
• y⁴ ≥ 0 при любом значении y (четвёртая степень неотрицательна) • −y⁴ ≤ 0 • −4 < 0 • Поэтому −y⁴ − 4 ≤ 0 − 4 = −4 < 0
Вывод: выражение всегда отрицательно ✓
Редакция 2019
№ 769.
Разложите на множители:
а) (а − 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b). б) (x + 8y)(2x − 5b) − 8y(2x − 5b). в) 7a2(a −x) + (6a2 − ax)(x − a). г) 11b2(3b − y) − (6y − 3b2)(y − 3b).