Номер 581 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 581.
Расположите в порядке возростания числа а, а2 и а3, если:
а) 0 < а < 1;
б) а > 1;
в) −1 < а < 0;
г) а < −1.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй подставить конкретные числа вместо а (например, 0,5 для случая а) или 2 для случая б). Вычисли квадрат и куб числа, потом сравни результаты. Помни: при возведении в чётную степень отрицательное число становится положительным!
Решение по шагам
Нужно сравнить три числа: а, а² и а³ при разных условиях. Будем подставлять конкретные значения и анализировать.
а) Если 0 < а < 1
Возьмём, например, а = 0,5
- а = 0,5
- а² = 0,5 × 0,5 = 0,25
- а³ = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125
Видим: 0,125 < 0,25 < 0,5
Значит: а³ < а² < а
б) Если а > 1
Возьмём а = 2
- а = 2
- а² = 2 × 2 = 4
- а³ = 2 × 2 × 2 = 8
Видим: 2 < 4 < 8
Значит: а < а² < а³
в) Если −1 < а < 0
Возьмём а = −0,5
- а = −0,5
- а² = (−0,5)² = 0,25 (положительное!)
- а³ = (−0,5)³ = −0,125
Видим: −0,5 < −0,125 < 0,25
Значит: а < а³ < а²
г) Если а < −1
Возьмём а = −2
- а = −2
- а² = (−2)² = 4 (положительное!)
- а³ = (−2)³ = −8
Видим: −8 < −2 < 4
Значит: а³ < а < а²
Редакция 2019
№ 581.
(Задача-исследование.) Докажите, что всякая разность вида abbb – a делится на 37.
1) Проверьте верность этого утверждения для разности:
а) 2555 − 2; б) 7111 − 7; в) 8999 − 8; г) 9666 − 9.
2) Проведите доказательство высказанного утверждения.
💡 Подсказка (без ответа)
Представь четырёхзначное число abbb в виде суммы по разрядам: abbb = 1000a + 100b + 10b + b. Упрости выражение abbb − a, вынеси общий множитель из полученного результата.
Решение по шагам
Решим эту задачу по шагам.
Часть 1. Проверка верности для конкретных примеров:
a) 2555 − 2 = 2553 Проверим делимость на 37: 2553 ÷ 37 = 69 Да, 2553 делится на 37 нацело.
б) 7111 − 7 = 7104 Проверим делимость на 37: 7104 ÷ 37 = 192 Да, 7104 делится на 37 нацело.
в) 8999 − 8 = 8991 Проверим делимость на 37: 8991 ÷ 37 = 243 Да, 8991 делится на 37 нацело.
г) 9666 − 9 = 9657 Проверим делимость на 37: 9657 ÷ 37 = 261 Да, 9657 делится на 37 нацело.
Часть 2. Доказательство:
Обозначим цифру a буквой a (где a — целое число от 1 до 9). Запись abbb означает четырёхзначное число, у которого первая цифра a, а три последние цифры — все одинаковые (обозначим эту цифру как b, где b — целое число от 0 до 9).
Четырёхзначное число abbb можно представить так: abbb = 1000a + 100b + 10b + b = 1000a + 111b
Тогда разность: abbb − a = 1000a + 111b − a = 999a + 111b
Вынесем общий множитель: 999a + 111b = 111(9a + b)
Теперь нужно доказать, что 111 делится на 37 (или что 9a + b дополнительно создаёт делимость).
Проверим: 111 ÷ 37 = 3
Да! 111 = 37 × 3
Следовательно: abbb − a = 111(9a + b) = 37 × 3 × (9a + b)
Это выражение всегда делится на 37, так как содержит множитель 37.
Что и требовалось доказать.