Номер 220 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 220.
Объясните, почему равенство является тождеством:
а) |х| = |−х|;
б) |х − у| = |у − х|;
в) |2с| = 2|с|.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомните определение модуля как расстояния от нуля. Проверьте равенства на конкретных примерах (с положительными и отрицательными числами), а затем объясните, почему это верно всегда.
Решение по шагам
Тождество — это равенство, которое верно для всех значений переменных. Проверим каждое:
а) |х| = |−х|
Модуль числа — это расстояние от нуля на числовой оси (всегда неотрицательное число).
Если х = 5, то |5| = 5 и |−5| = 5. Получается 5 = 5.
Если х = −3, то |−3| = 3 и |−(−3)| = |3| = 3. Получается 3 = 3.
Если х = 0, то |0| = 0 и |−0| = 0. Получается 0 = 0.
Числа х и −х находятся на одинаковом расстоянии от нуля, просто в разные стороны. Поэтому их модули всегда равны.
б) |х − у| = |у − х|
Заметим, что у − х = −(х − у).
Следовательно, |у − х| = |−(х − у)|.
По пункту а) мы знаем, что |−a| = |a| для любого числа a.
Поэтому |−(х − у)| = |х − у|.
Это значит: |х − у| = |у − х| ✓
в) |2с| = 2|с|
Проверим для положительного и отрицательного значения:
Если с = 4, то |2 · 4| = |8| = 8 и 2|4| = 2 · 4 = 8. Получается 8 = 8.
Если с = −3, то |2 · (−3)| = |−6| = 6 и 2|−3| = 2 · 3 = 6. Получается 6 = 6.
Модуль произведения равен произведению модулей. Число 2 — положительное, поэтому |2с| = |2| · |с| = 2|с|.
Редакция 2019
№ 220.
Известно, что |x| = |y|. Верно ли, что x = y?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни определение модуля — это расстояние от нуля. Подумай, какие разные числа могут находиться на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой. Приведи свой пример.
Решение по шагам
Давайте разберёмся, что означает условие |x| = |y|.
Модуль числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой. Модуль всегда неотрицательный.
Если |x| = |y|, то это значит, что числа x и y находятся на одинаковом расстоянии от нуля.
Примеры:
- Возьмём x = 3 и y = 3. Тогда |3| = |3| = 3 ✓ и x = y ✓
- Возьмём x = 3 и y = -3. Тогда |3| = |-3| = 3 ✓ но x ≠ y ✗
- Возьмём x = -5 и y = -5. Тогда |-5| = |-5| = 5 ✓ и x = y ✓
- Возьмём x = -5 и y = 5. Тогда |-5| = |5| = 5 ✓ но x ≠ y ✗
Вывод: Если модули двух чисел равны, то эти числа либо равны друг другу, либо являются противоположными числами.
Математически: из |x| = |y| следует, что x = y или x = -y.