Номер 1020 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1020.
В книге Леонарда Эйлера(XVIIIв.) используется тождество (p²+cq²)(r²+cq²) = (pr+cqs)² + c(ps-qr)².
Докажите его.
Редакция 2019
№ 1020.
Представьте в виде произведения:
а) x3 + y3 + 2x2 − 2xy + 2y2; б) a3 − b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; в) a4 + ab3 − a3b − b4; г) x4 + x3y − xy3 − y4.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй группировку: выдели сумму или разность кубов, а затем вынеси общий множитель. Помни формулы: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) и a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
Решение по шагам
Решаем пошагово:
а) x³ + y³ + 2x² − 2xy + 2y²
Делим на две группы:
- Первые два слагаемых: x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
- Остальные: 2x² − 2xy + 2y² = 2(x² − xy + y²)
Выносим общий множитель (x² − xy + y²): (x + y)(x² − xy + y²) + 2(x² − xy + y²) = (x² − xy + y²)(x + y + 2)
б) a³ − b³ + 3a² + 3ab + 3b²
Делим на две группы:
- Первые два: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- Остальные: 3a² + 3ab + 3b² = 3(a² + ab + b²)
Выносим общий множитель (a² + ab + b²): (a − b)(a² + ab + b²) + 3(a² + ab + b²) = (a² + ab + b²)(a − b + 3)
в) a⁴ + ab³ − a³b − b⁴
Группируем: (a⁴ − a³b) + (ab³ − b⁴) = a³(a − b) + b³(a − b) = (a − b)(a³ + b³)
Разлагаем сумму кубов: (a − b)(a + b)(a² − ab + b²)
г) x⁴ + x³y − xy³ − y⁴
Группируем: (x⁴ + x³y) − (xy³ + y⁴) = x³(x + y) − y³(x + y) = (x + y)(x³ − y³)
Разлагаем разность кубов: (x + y)(x − y)(x² + xy + y²)