Номер 1004 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1004.
Докажите, что значение выражения:
а) 41³ + 19³ делится на 60;
б) 79³ - 29³ делится на 50;
в) 66³ + 34³ делится на 400;
г) 54³ - 24³ делится на 1080.
Редакция 2019
№ 1004.
В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество (p2 + cq2)(r2 + cs2) = (pr + cqs)2 + c(ps − qr)2. Докажите его.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки в левой части: умножь каждый член первой скобки на каждый член второй. Затем раскрой правую часть: возведи в квадрат оба выражения в скобках и сложи. Сравни, какие одинаковые слагаемые получились.
Решение по шагам
Нужно доказать, что левая часть равна правой. Раскроем скобки и сравним.
Шаг 1. Раскроем левую часть:
(p² + cq²)(r² + cs²) = p²r² + p²cs² + cq²r² + c²q²s²
Шаг 2. Раскроем правую часть:
(pr + cqs)² + c(ps − qr)²
Сначала (pr + cqs)²: (pr + cqs)² = p²r² + 2pr·cqs + c²q²s² = p²r² + 2cprqs + c²q²s²
Теперь c(ps − qr)²: c(ps − qr)² = c(p²s² − 2psqr + q²r²) = cp²s² − 2cpsqr + cq²r²
Шаг 3. Сложим части правой части:
(pr + cqs)² + c(ps − qr)² = p²r² + 2cprqs + c²q²s² + cp²s² − 2cpsqr + cq²r²
Заметим, что 2cprqs − 2cpsqr = 0 (это одно и то же)
Получаем: p²r² + c²q²s² + cp²s² + cq²r²
Шаг 4. Переставим слагаемые:
p²r² + cp²s² + cq²r² + c²q²s² = p²r² + p²cs² + cq²r² + c²q²s²
Это в точности совпадает с левой частью!
Вывод: левая часть = правой части. Тождество доказано.
Редакция учебника
№ 1004.
Докажите, что значение выражения:
а) 41³ + 19³ делится на 60;
б) 79³ - 29³ делится на 50;
в) 66³ + 34³ делится на 400;
г) 54³ - 24³ делится на 1080.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулы суммы и разности кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) и a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). В каждом примере один из множителей будет равен числу, на которое нужно доказать делимость.
Решение по шагам
Используем формулы суммы и разности кубов:
- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
а) 41³ + 19³ делится на 60
Применяем формулу суммы кубов: 41³ + 19³ = (41 + 19)(41² - 41·19 + 19²) = 60(41² - 41·19 + 19²) = 60(1681 - 779 + 361) = 60 · 1263
Так как выражение представлено в виде произведения 60 на целое число, оно делится на 60. ✓
б) 79³ - 29³ делится на 50
Применяем формулу разности кубов: 79³ - 29³ = (79 - 29)(79² + 79·29 + 29²) = 50(79² + 79·29 + 29²) = 50(6241 + 2291 + 841) = 50 · 9373
Так как выражение представлено в виде произведения 50 на целое число, оно делится на 50. ✓
в) 66³ + 34³ делится на 400
Применяем формулу суммы кубов: 66³ + 34³ = (66 + 34)(66² - 66·34 + 34²) = 100(66² - 66·34 + 34²) = 100(4356 - 2244 + 1156) = 100 · 3268 = 100 · 4 · 817 = 400 · 817
Так как выражение представлено в виде произведения 400 на целое число, оно делится на 400. ✓
г) 54³ - 24³ делится на 1080
Применяем формулу разности кубов: 54³ - 24³ = (54 - 24)(54² + 54·24 + 24²) = 30(54² + 54·24 + 24²) = 30(2916 + 1296 + 576) = 30 · 4788 = 30 · 36 · 133 = 1080 · 133
Так как выражение представлено в виде произведения 1080 на целое число, оно делится на 1080. ✓