Номер 1001 — ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев
Редакция 2024
№ 1001.
Найдите значение выражения:
а) (3а-2b)² - (2а-b)² при а = 1,35 и b = -0,65;
б) (2y-с)² + (у+2с)² при с = 1,2 и у = -1,4
💡 Подсказка (без ответа)
В пункте а) сначала раскрой скобки по формуле квадрата разности, затем упрости выражение. В пункте б) также раскрой скобки, но заметь, что получится красивое выражение 5(y² + с²), которое легко вычислить.
Решение по шагам
Решение:
а) (3а-2b)² - (2а-b)² при а = 1,35 и b = -0,65
Шаг 1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности (x-y)² = x² - 2xy + y².
(3а-2b)² = (3а)² - 2·3а·2b + (2b)² = 9а² - 12аb + 4b²
(2а-b)² = (2а)² - 2·2а·b + b² = 4а² - 4аb + b²
Шаг 2. Найдём разность: (3а-2b)² - (2а-b)² = (9а² - 12аb + 4b²) - (4а² - 4аb + b²)
= 9а² - 12аb + 4b² - 4а² + 4аb - b²
= 5а² - 8аb + 3b²
Шаг 3. Подставим а = 1,35 и b = -0,65:
5·(1,35)² - 8·1,35·(-0,65) + 3·(-0,65)²
= 5·1,8225 - 8·1,35·(-0,65) + 3·0,4225
= 9,1125 + 7,02 + 1,2675
= 17,4
б) (2y-с)² + (у+2с)² при с = 1,2 и у = -1,4
Шаг 1. Раскроем скобки:
(2y-с)² = (2y)² - 2·2y·с + с² = 4y² - 4yс + с²
(у+2с)² = у² + 2·у·2с + (2с)² = у² + 4уc + 4с²
Шаг 2. Найдём сумму: (2y-с)² + (у+2с)² = 4y² - 4yс + с² + у² + 4уc + 4с²
= 5y² + 5с²
= 5(y² + с²)
Шаг 3. Подставим у = -1,4 и с = 1,2:
5·((-1,4)² + (1,2)²)
= 5·(1,96 + 1,44)
= 5·3,4
= 17
Редакция 2019
№ 1001.
Докажите тождество:
а) (a + b)2(a − b) − 2ab(b − a) − 6ab(a − b) = (a − b)3;
б) (a + b)(a − b)2 + 2ab(a + b) − 2ab(−a − b) =(a + b)3.
💡 Подсказка (без ответа)
В обеих частях попробуй вынести общий множитель за скобки. Помни, что (b − a) = −(a − b). После вынесения должны остаться формулы сокращённого умножения: (a ± b)².
Решение по шагам
Докажу оба тождества пошагово.
а) (a + b)²(a − b) − 2ab(b − a) − 6ab(a − b) = (a − b)³
Шаг 1. Упростим левую часть. Заметим, что (b − a) = −(a − b), поэтому 2ab(b − a) = −2ab(a − b).
(a + b)²(a − b) − 2ab(b − a) − 6ab(a − b) = = (a + b)²(a − b) + 2ab(a − b) − 6ab(a − b)
Шаг 2. Вынесем общий множитель (a − b): = (a − b)[(a + b)² + 2ab − 6ab] = (a − b)[(a + b)² − 4ab]
Шаг 3. Раскроем (a + b)²: = (a − b)[a² + 2ab + b² − 4ab] = (a − b)[a² − 2ab + b²]
Шаг 4. Заметим, что a² − 2ab + b² = (a − b)²: = (a − b)(a − b)² = (a − b)³ ✓
б) (a + b)(a − b)² + 2ab(a + b) − 2ab(−a − b) = (a + b)³
Шаг 1. Упростим левую часть. Заметим, что −2ab(−a − b) = 2ab(a + b): (a + b)(a − b)² + 2ab(a + b) + 2ab(a + b) = (a + b)(a − b)² + 4ab(a + b)
Шаг 2. Вынесем общий множитель (a + b): = (a + b)[(a − b)² + 4ab]
Шаг 3. Раскроем (a − b)²: = (a + b)[a² − 2ab + b² + 4ab] = (a + b)[a² + 2ab + b²]
Шаг 4. Заметим, что a² + 2ab + b² = (a + b)²: = (a + b)(a + b)² = (a + b)³ ✓