Задание 9: Задачи с прикладным содержанием

Типичная формулировка: «Величина $y$ вычисляется по формуле… Найдите значение параметра, при котором выполняется условие (не менее, не более, равно)». Часто встречаются задачи на КПД, электрические цепи, механику (скорость, путь, ускорение), геометрическую оптику, финансовые расчёты.

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — число (иногда с округлением), которое вносится в бланк без единиц измерения. Требуется указать единицы в самом решении (км/ч², кг, Ом и т.д.) согласно условию, но в бланк идёт только число.

• Линейное уравнение: $ax+b=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}$, при $a\neq0$.
• Линейное неравенство: при делении/умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Квадратное уравнение: $ax^2+bx+c=0$, $D=b^2-4ac$, $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Метод интервалов для рациональных неравенств: определить нули числителя и знаменателя, отметить на числовой прямой, определить знаки на промежутках.
• Иррациональное уравнение $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе: $f(x)=g^2(x)$, $g(x)\ge0$.
• Свойства степеней: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
• Показательное уравнение $a^x=b$ (при $a>0,\ a\neq1,\ b>0$) решается через логарифм: $x=\log_a b$.
• Показательное неравенство: если $a>1$, знак сохраняется; если $0<a<1$, знак меняется при переходе к показателям.
• Логарифм: $\log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b$ (при $a>0,\ a\neq1,\ b>0$).
• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$.
• Свойства логарифмов: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
• Область определения логарифма: подлогарифмическое выражение строго положительно, основание положительно и не равно 1.
• Тригонометрические уравнения: $\sin x=a$, $\cos x=a$ при $|a|\le1$ имеют решения; иначе решений нет.
• Перевод единиц измерения: метры в километры, минуты в часы, проценты в доли — обязательный шаг перед подстановкой в формулу.
• Область допустимых значений (ОДЗ): физические величины (масса, длина, сопротивление, время) всегда положительны — это ограничивает знак неравенства при умножении/делении.

1. Внимательно прочитать условие, выписать формулу и обозначения всех величин.
2. Проверить единицы измерения данных и формулы — при необходимости перевести (метры в километры, минуты в часы, проценты в доли).
3. Подставить все известные числовые данные в формулу, оставив только искомую переменную.
4. Определить тип полученного уравнения или неравенства (линейное, квадратное, иррациональное, показательное и т.д.).
5. Учесть физические ограничения на переменную (положительность массы, сопротивления, времени) — это важно при умножении/делении неравенства.
6. Решить уравнение или неравенство, применяя соответствующий метод.
7. Отобрать значения, удовлетворяющие ОДЗ и физическому смыслу задачи (например, отбросить отрицательный корень).
8. Если требуется наименьшее или наибольшее значение — определить его по смыслу неравенства (монотонность функции по параметру). …