Задание 8: Производная и первообразная

Типичные формулировки:

• «Материальная точка движется по закону $x(t)=\dots$. Найдите момент времени, когда скорость (ускорение) равна такому-то значению»;
• «На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке $x_0$. Найдите $f'(x_0)$» (или значение производной комбинированной функции);
• «На рисунке изображён график производной $f'(x)$. Определите количество точек экстремума / промежутки возрастания»;
• «Найдите первообразную функции $f(x)$, график которой проходит через точку...».

…

• Физический смысл производной: если $x(t)$ — закон движения, то скорость $v(t)=x'(t)$, ускорение $a(t)=v'(t)=x''(t)$.
• Геометрический смысл производной: $f'(x_0)=k$ — угловой коэффициент касательной к графику $f$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$.
• Уравнение касательной: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.
• Угловой коэффициент прямой по двум точкам: $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
• Правила дифференцирования: $(u\pm v)'=u'\pm v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $(cu)'=cu'$, производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
• Таблица производных основных функций: $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\dfrac1x$, $(a^x)'=a^x\ln a$.
• Связь знака производной и поведения функции: если $f'(x)>0$ на промежутке, функция возрастает; если $f'(x)<0$ — убывает; в точке экстремума $f'(x_0)=0$ или производная не существует, и знак производной меняется.
• По графику производной точки максимума соответствуют переходу знака $f'$ с «+» на «−», точки минимума — с «−» на «+».
• Первообразная: $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, если $F'(x)=f(x)$. Общий вид: $F(x)+C$.
• Таблица первообразных: для $x^n$ ($n\neq -1$) первообразная $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$; для $\dfrac1x$ — $\ln|x|$; для $\sin x$ — $-\cos x$; для $\cos x$ — $\sin x$; для $e^x$ — $e^x$.
• Если известна точка графика первообразной, константу $C$ находят подстановкой координат этой точки.

1. Определить подтему задания: физический смысл, геометрический смысл (касательная), исследование по графику производной или первообразная.
2. Если дан закон движения — продифференцировать нужное число раз (координата → скорость → ускорение) и составить уравнение с заданным условием.
3. Если дан график с касательной — выбрать на прямой две «удобные» точки с целыми координатами и вычислить угловой коэффициент как отношение приращений.
4. Если требуется производная комбинированной функции — сначала продифференцировать её по правилам (сумма, произведение, константа), выразив ответ через $f'(x_0)$, затем подставить найденное числовое значение.
5. Если дан график производной — определить знаки на промежутках и точки смены знака, сделать вывод о возрастании/убывании или экстремумах. …