Задание 7: Вычисления и преобразования

Типичные формулировки:

• «Найдите значение выражения...»
• «Упростите выражение...»
• «Вычислите...»

Задание находится в первой части экзамена, ответом служит число (или, реже, дробь/выражение), которое нужно записать без единиц измерения. За верное решение даётся 1 балл. Ошибка в вычислениях или знаках сводит балл к нулю — здесь нет частичного зачёта, поэтому важна точность на каждом шаге.

Формулы сокращённого умножения:

• $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
• $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
• $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

Свойства степеней:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n b^n$
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, $a^0=1$ (при $a\neq0$)
• $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$

Свойства корней:

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ (при неотрицательных $a,b$)
• $\sqrt{a^2}=|a|$
• $\sqrt[n]{a^n}=a$, если $n$ нечётное; $\sqrt[n]{a^n}=|a|$, если $n$ чётное

Свойства логарифмов:

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
• $\log_a x^p=p\log_a x$
• $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ (переход к новому основанию)
• $a^{\log_a b}=b$

Тригонометрические тождества:

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
• $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
• Формулы двойного угла: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
• Формулы сложения: $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

1. Определите тип выражения — рациональное, степенное, иррациональное, логарифмическое или тригонометрическое. От этого зависит набор формул.
2. Найдите в выражении «узнаваемые» структуры: квадрат суммы/разности, разность квадратов, произведение сопряжённых, сумма логарифмов и т.п.
3. Примените соответствующую формулу, раскрыв скобки или, наоборот, свернув выражение — в зависимости от того, что упрощает дальнейшие вычисления.
4. Приведите подобные слагаемые, сократите общие множители в числителе и знаменателе.
5. Подставьте числовые значения (если они даны в условии) только после максимального упрощения выражения — так вычисления будут проще и без ошибок.
6. Проверьте ответ на разумность: если получилось громоздкое иррациональное число там, где ожидался «красивый» ответ, вероятно, где-то допущена ошибка.