Задание 6: Простейшие уравнения

Типичные формулировки:

• «Найдите корень уравнения ...»
• «Найдите корни уравнения ... В ответ запишите наибольший (наименьший, единственный) корень»
• «Решите уравнение ...»

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк. Задание считается одним из самых простых в первой части экзамена, но именно из-за невнимательности к ОДЗ или знакам школьники часто теряют этот балл.

• Линейное уравнение: $ax+b=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}$ (при $a\ne 0$).
• Квадратное уравнение: $ax^2+bx+c=0$, дискриминант $D=b^2-4ac$, корни $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Кубическое уравнение вида $ax^3=b$: $x=\sqrt[3]{b/a}$.
• Дробь равна числу: $\dfrac{f(x)}{g(x)}=c$ равносильно $f(x)=c\cdot g(x)$ при условии $g(x)\ne 0$.
• Дробь равна нулю: $\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \Leftrightarrow f(x)=0,\ g(x)\ne 0$.
• Простейшие тригонометрические уравнения: $$\sin x=a \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\tan x=a \Rightarrow x=\arctan a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
• Табличные значения: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$; $\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$; $\sin\dfrac{\pi}{3}=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
• Иррациональное уравнение: $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе $\{f(x)=g(x)^2,\ g(x)\ge 0\}$.
• Показательное уравнение: $a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ (при $a>0,\ a\ne1$).
• Логарифмическое уравнение: $\log_a f(x)=\log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ при условии $f(x)>0,\ g(x)>0$.
• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$; $\log_a a^b=b$.
• Смешанное число переводится в дробь: $7\dfrac{3}{7}=\dfrac{7\cdot7+3}{7}=\dfrac{52}{7}$.

1. Определи тип уравнения (линейное, тригонометрическое, иррациональное, показательное, логарифмическое и т.д.) — это подскажет метод.
2. Найди ОДЗ, если уравнение содержит корень, логарифм или дробь со знаменателем.
3. Приведи уравнение к простейшему стандартному виду (одна функция от $x$ равна числу).
4. Реши простейшее уравнение по формуле, соответствующей типу функции.
5. Если решение — серия корней (тригонометрия), выпиши общий вид с параметром $n$ или $k$ и подставляй целые значения, чтобы найти нужный корень (наибольший, наименьший, единственный в промежутке).
6. Проверь найденные значения по ОДЗ и исходному уравнению — отбрось посторонние корни.
7. Запиши окончательный ответ в требуемом формате (целое число или десятичная дробь).