Задание 5: Вероятности сложных событий

Задание 5 — короткая текстовая задача с одним числовым ответом (десятичная дробь). Типичные сюжеты:

• две (или больше) «партии товара» с разной долей бракованных/качественных изделий, нужно найти долю из одного источника или итоговую вероятность;
• игра/матч из нескольких партий с разными вероятностями выигрыша в зависимости от условий;
• случайный выбор числа, номера, цифры и вычисление вероятности события, связанного с несколькими позициями (цифрами) одновременно.

…

• Классическое определение вероятности: $P(A) = \dfrac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех равновозможных исходов.
• Вероятность противоположного события: $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
• Теорема сложения вероятностей несовместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Теорема умножения вероятностей независимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Формула полной вероятности: если события $H_1, H_2, \dots, H_n$ образуют полную группу (несовместны и их сумма — всё пространство исходов), то $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A \mid H_i).$$
• Формула Байеса (переоценка вероятности гипотезы при известном результате): $$P(H_i \mid A) = \dfrac{P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)}{P(A)}.$$
• Условная вероятность: $P(A \mid H) = \dfrac{P(A \cap H)}{P(H)}$.
• В задачах про «доли из разных источников» переменная — это доля партии, а не вероятность конкретного изделия; уравнение составляется через формулу полной вероятности.
• В задачах про цифры номера: вероятность того, что случайная цифра принадлежит заданному множеству, равна $\dfrac{\text{число подходящих цифр}}{10}$ (для одной позиции номера).

1. Прочитать условие и выделить, сколько «источников», «партий» или «этапов» участвует в задаче.
2. Определить тип задачи: нужно найти итоговую вероятность (полная вероятность), найти неизвестную долю/параметр (уравнение через полную вероятность) или найти вероятность произведения независимых событий.
3. Выписать известные вероятности и условные вероятности в виде формул с обозначениями.
4. Составить нужное уравнение или произведение, аккуратно расставив, какая величина известна, а какая — искомая переменная.
5. Решить уравнение (обычно линейное) или выполнить арифметическое умножение/сложение.
6. Проверить, что ответ — число от 0 до 1 (вероятность не может быть отрицательной или больше 1), и представить его в виде десятичной дроби.